5. Общее решение и общий интеграл.

Общее решение дифференциального уравнения — функция наиболее общего вида, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вида

обращает его в тождество.

Если каждое решение дифференциального уравнения представимо в виде:

где   — конкретные числа, то функция вида

при всех допустимых значениях параметров (неопределённых констант)   называется общим решением дифференциального уравнения.

6.Особые точки и особые решения.

Особые точки и особые решения уравнения первого порядка. Если в окрестности точки (x₀, y₀) плоскости для уравнения   выполняются условия существования и единственности решения задачи Коши (непрерывность f(x, y) и  ), то через эту точку проходит единственная интегральная кривая. Если эти условия нарушаются, точку (x₀, y₀)называют особой т очкой дифференциального уравнения. Через особую точку может не проходить ни одной интегральной кривой (т.е. задача  , y(x₀) = y₀ не имеет решения); может проходить одна интегральная кривая; может проходить несколько интегральных кривых. Особые точки могут образовать кривую, которая сама является интегральной кривой уравнения. Решение уравнения, в каждой точке которого нарушается его единственность, называют особым решением.

Для примера рассмотрим уравнение  . Здесь   - непрерывна в любой точке (x,y), но   - не имеет конечного предела при  , т.е. в любой точке (x, y) при y = 0 нарушается условие существования непрерывной производной  . Следовательно, любая точка (x, 0) является особой точкой уравнения. Прямая y = 0, очевидно, интегральная кривая уравнения (функция y = 0 удовлетворяет уравнению). Найдём общее решение этого уравнения:  . Несколько таких функций приведено на рисунке справа вверху вместе с решением y = 0. В любой точке (x, 0) нарушается единственность решения, таким образом, решение y = 0 - особое. На самом деле через любую точку (x, 0)проходит бесконечное количество интегральных кривых, так как любая кривая, составленная из частей особого и неособых решений (одна такая кривая выделена красным пунктиром), также является интегральной кривой.

7.Метод последовательных приближений.

Для отыскания приближенного решения можно воспользоваться также методом последовательных приближений. Напомним его суть. Задача Коши (E) – (C)эквивалентна интегральному уравнению

x(t) = x0 +  ∫ t t0 f[s, x(s)]ds,   t ∈ [t0, t0 + T]

(4)

в следующем смысле: если φ — решение задачи Коши (E) – (C), то φ удовлетворяет уравнению (4) и наоборот.

Обозначим правую часть уравнения (4) через (Jx)(t). Тогда оно перепишется в операторном виде

x = Jx.

Если применить к получившемуся уравнению метод простой итерации, начиная, например, с функции x⁰(t) ≡ x⁰, то получим рекуррентно определяемую последовательность функций:

xn(t) = Jxn–1 = x0 + ∫ t t0 f[s, xn–1(s)]ds,    n = 1, 2, ... .

(5)

Известно, что последовательность функций xⁿ равномерно сходится к решению задачи (E) – (C), причем известна оценка скорости сходимости. Если теперь заменить в (5) интеграл (вовсе не обязательно берущийся) какой-либо квадратурной формулой (возможность такой замены требует, конечно, обоснования), то получится метод, позволяющий вычислять все более и более точные приближения решения.

Задача 1.1.2. Найдите описанным методом решение скалярной задачи Коши x′ = ax, x(t₀) = x⁰.

Поскольку этот метод требует большого объема вычислительной работы (на каждой итерации приходится неоднократно вычислять значения правой части уравнения), он играет, в основном, теоретическую роль - например, он полезен при доказательстве теоремы Коши — Пикара или при доказательстве утверждений о дифференцируемости решений по параметру или начальным данным.

Общее решение дифференциального уравнения – это множество решений, содержащее все без исключения решения этого дифференциального уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения еще называют общим интегралом дифференциального уравнения.

Вернемся к примеру. Общее решение дифференциального уравнения   имеет вид   или  , где C – произвольная постоянная. Выше мы указали два решения этого ОДУ, которые получаются из общего интеграла дифференциального уравнения   при подстановке С = 0 и C = 1 соответственно.

Если решение дифференциального уравнения удовлетворяет изначально заданным дополнительным условиям, то его называют частным решением дифференциального уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения  , удовлетворяющим условию y(1)=1, является  . Действительно,   и  .

Основными задачами теории дифференциальных уравнений являются задачи Коши, краевые задачи и задачи нахождения общего решения дифференциального уравнения на каком-либо заданном интервале X.

Задача Коши – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям  , где   - числа.

Краевая задача – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющего дополнительным условиям в граничных точках x₀ и x₁ : f (x₀) = f₀ , f (x₁) = f₁ , где f₀ и f₁ - заданные числа.

Краевую задачу часто называют граничной задачей.

Обыкновенное дифференциальное уравнение n-ого порядка называется линейным, если оно имеет вид  , а коэффициенты   есть непрерывные функции аргумента x на интервале интегрирования.

Если  , то уравнение  называют линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ), в противном случае – линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ).

Когда коэффициенты   являются постоянными функциями (то есть, некоторыми числами), то соответствующие дифференциальные уравнения называют ЛОДУ с постоянными коэффициентами (если  ) или ЛНДУ с постоянными коэффициентами (при ненулевой f(x)).

Характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения n-ой степени с постоянными коэффициентами – это уравнение n-ой степени вида  .