31. Частные производные и дифференциалы высших порядков

Частные производные  функции

 в общем случае являются функциями от х и у. Если они дифференцируемы, то четыре частные производные, называемые частными производными второго порядка:

Аналогично вводятся частные производные третьего, ..., го порядка.

О: Частной производной n-го порядка называется частная производная первого порядка от частной производной го порядка.

Примеры: 1)

2)

Отметим, что смешанные производные и отличающиеся только порядком дифференцирования, равны между собой. Для таких производных имеет место теорема. Т: Если частные производные, отличающиеся только порядком дифференцирования, непрерывны в т. М(х, у), то они равны между собой в этой точке Например,

О: Дифференциалом второго порядка функции z = (х, у) называется дифференциал от ее дифференциала первого порядка, рассматриваемого как функция переменных х и у при фиксированных значениях dx и dу.

Аналогично определяются дифференциалы третьего, ..., го порядка [11. С. 410]:

Выражение в скобках формально раскрывается по биномиальному закону. Например,

33. Формула Тейлора для функций многих переменных

Напомним, что в случае функции одного переменного   формула Тейлора имеет вид

где Х0  -- фиксированная точка, в которой ведётся разложение,  Х-- текущая точка, а Хт  -- некоторая точка отрезка между точками Х0 и Х  . При этом предполагается, что функция F имеет производную (m+1) -го порядка, определённую в некоторой окрестности точки   .Последнее слагаемое формулы, то есть   называется остаточным членом формулы Тейлора, а многочлен от   , равный

называется многочленом Тейлора функции F в точке X0  . Наша цель -- получить формулу для функции F, зависящей от n  переменных   , частным случаем которой при   будет выписанная выше формула Тейлора для функции одного переменного.

34. Экстремум функции многих переменных Определение.  Пусть  функция  f (х, у)  определена в точке  M₀ (x₀, y₀)  и  в некоторой её окрестности. Функция  f (х, у)   имеет максимум в точке(x₀, y₀), если f  (x₀, y₀) >   f (х, у) для всех точек (х, у). из некоторой окрестности точки(x₀, y₀).    Если же f  (x₀, y₀) <  f (х, у)., то функция f (х, у) имеет минимум в точке M₀ (x₀, y₀). Точки, в которых функция принимает максимальное и минимальное значения, называются экстремальными. Аналогично вводятся понятия максимума и минимума для функций трёх и более аргументов. Мы ограничимся рассмотрением функций двух переменных. В случае необходимости весь изложенный ниже материал легко обобщается на случаи функций любого  числа переменных.Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если  функция  f (х, у) имеет в точке M₀ (x₀, y₀) экстремум, то все частные производные первого порядка от f (х, у)  или  равны нулю, или не существуют в этой точке. Доказательство.  Зафиксируем один аргумент функции f (х, у). Например, положим переменную у равной постоянной  y₀. Функция  f   (x, y₀)  будет в   этом случае функцией одной переменной х. По условию теоремы при x = x₀ она имеет экстремум (максимум или  минимум) и, следовательно, её первая производная в этой точке равна 0 (см. тему №5), то есть   (или не существует). Рассуждая аналогично, убеждаемся, что производная функции f (x₀, y) по переменной у должна обращаться в нуль или не существовать при y = y₀. Теорема доказана. Данная теорема даёт необходимые условия существования экстремума: функция f (х, у) имеет экстремум в тех точках, где частные   производные первого порядка   и   обращаются в нуль (или не существуют). Сформулируем правило нахождения точек, в которых функция может иметь экстремум: приравнивая частные производные первого порядка к нулю, получаем систему уравнений:

Решения этой системы, а также точки, в которых эти производные не существуют, являются теми значениями независимых переменных, при которых функция может достигать экстремума. Эти точки называются критическими для функции .  Если дифференцируемая функция не имеет критических точек, то она и не имеет экстремума. Приведённая выше теорема не является достаточной для исследования вопроса об экстремальных значениях функции. Так, например, функция  z = x² - y²  имеет производные ,  , которые обращаются в нуль при x =0 и y = 0.  Но эта функция при указанных значениях не имеет ни максимума, ни минимума. Установим достаточные условия экстремума функции двух переменных.Теорема 2. Пусть в некоторой области, содержащей точку M₀ (x₀, y₀), функция f (х, у) имеет непрерывные частные   производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того, точка M₀ (x₀, y₀) является критической для функции f (х, у), то есть  . 1/Тогда при x = x₀, y = y₀: f (х, у) имеет максимум, если   и A < 0,  где 2/.f (х, у) имеет минимум, если   и A > 0.3/f (х, у) не имеет ни максимума, ни минимума, если 4.если  , то экстремум может быть, а может и не быть (в этом случае требуется дальнейшее исследование). Замечание 1. Квадратичная форма   легко запоминается, если записать её в виде определителя: .     Если , в точке (x₀, y₀) есть экстремум. Если  , экстремума нет.Замечание 2.  В каждой точке M₀ (x₀, y₀) экстремума градиент функции z  = f (х, у) обращается в нуль-вектор,  а производная в любом направлении  равна нулю: (grad  f  )_M = 0,  . Замечание 3. В точке экстремума касательная плоскость к поверхности с уравнением  z  = f (х, у)  параллельна плоскости хоу.Необходимое и достаточное условия.Рассмотрим функцию  , где   -- открытое множество.

Определение.     называется точкой максимума (минимума) функции  , если

Аналогично если выполняется строгое неравенство, точка называется точкой строгого максимума (строгого минимума).

Теорема. (необходимое условие экстремума)   Если   -- точка экстремума и существует  , то  .

Доказательство. Частную производную можно представить как производную функции одной переменной   в точке  . Для этой функции точка   также является точкой экстремума. Тогда, по необходимому условию экстремума функции одной переменной  ..