5. Собственные движения звезд и эффект Доплера.

     Кроме видимого движения, связанного с движением Земли вокруг Солнца, звезды имеют и реальное движение в пространстве, которое называется собственное движение – это  угол (?), на который смещается звезда по небесной сфере в течение года. Самая быстрая звезда – Летящая Барнарда в Змееносце – смещается на  видимый диаметр Луны за 180 лет. Ее собственное движение равно 10,5?? в год, для большинства звезд ?<0,02??.  Скорость, с которой звезда движется в пространстве относительно Солнца, называется пространственной скоростью. Вектор пространственной скорости можно представить как сумму двух векторов, один из которых перпендикулярен лучу зрения (тангенциальная скорость), а другой направлен по лучу зрения (лучевая скорость). Тогда модуль пространственной скорости легко найти по теореме Пифагора.

Найти тангенциальную скорость достаточно просто, зная параллакс звезды и собственное движение, окончательно v?=4,74µ/?. Сложнее, казалось, обстоит дело с лучевой скоростью, но здесь на помощь астрономии пришла спектроскопия.

В 1842 году австрийский физик и астроном Христиан Доплер установил, что длина волны ?, принятая наблюдателем, связана с длиной волны источника излучения соотношением:  где V– проекция скорости источника на луч зрения. ?0 и  ? - длины волн испущенные источником и принятые приемником, соответственно. Открытый им закон получил название закона Доплера: ?/?=?n/n=V/c , где ??= ?-?0, ??= ?-?0 ,  с-скорость света, ? и ?0 – частоты, испущенных и принятых волн. То есть при движении источника или приемника излучения происходит изменение длины волны. Простейший пример эффекта Доплера работа мобильного телефона в машине, едущей на большой скорости. Вы не сможете принять волну от ретрансляционной вышки, так как ее длина изменилась из-за вашего движения.

Аналогично происходит сдвиг линий и в спектрах звезд, если эти звезды имеют ненулевую проекцию лучевой скорости. Смещение линий в спектре звезды относительно спектра сравнения в красную сторону говорит о том, что звезда удаляется от нас, смещение в фиолетовую сторону спектра – что звезда приближается к нам. Термин «красное смещение», говорящий о расширении нашей вселенной, связан именно с эффектом Доплера. А именно, линии в спектрах излучения далеких от нас галактик смещены в сторону красного света, и чем дальше объект, тем больше они смещены. Это говорит о том, что чем дальше от нас объект, тем с большей скоростью он от нас удаляется. Измерив с помощью микроскопа смещение линий ?? по сравнению с эталонными (лабораторными), можно определить скорость движения наблюдаемого объекта: V= ???с/ ?.  Эффект Доплера позволяет судить не только о движении излучающего тела, но и о его вращении. Например, вследствие вращения Солнца западный край Солнца удаляется от нас, а восточный край – приближается к нам. Поэтому наибольшая линейная скорость вращения Солнца, которая наблюдается на экваторе, равная 2 км/с, дает доплеровское смещение линии ? = 500 нм (5000 A) в ?? = 0,035A. При этом на полюсах Солнца доплеровское смещение линий уменьшается до нуля.

У звезд не удается наблюдать излучение отдельных частей их поверхностей, но астрофизики и здесь нашли выход. Наблюдаемый спектр звезды получается в результате наложения друг на друга спектров всех точек ее диска, каждая из которых у вращающейся звезды дает различное смещение линий в спектре. В результате наблюдается уширение спектральных линий, по величине этого уширения можно судить о линейной скорости вращения, которая у некоторых звезд достигает огромных значений до сотен километров в секунду.

Если линии в спектре периодически смещаются то в одну, то в другую сторону, значит, звезда имеет компаньона, и они оба обращаются вокруг общего центра масс. В этом случае эффект Доплера позволяет вычислить период обращения, а в конечном итоге массу звезды и ее компаньона.

С помощью эффекта Доплера можно определять даже температуру. Предположим, что имеется облако излучающего газа, которое не движется. Спектральные линии, излучаемые отдельными атомами, все равно имеют доплеровские смещения из-за беспорядочного теплового движения. Поскольку в каждый момент времени множество атомов движется к нам со всевозможными скоростями и примерно столько же удаляется от нас, то происходит, как говорилось выше, уширение спектральной линии. Атомы, излучающие спектральную линию, смещенную на величину ??, двигаются согласно закона Доплера со скоростью      V= ???с/?. Больше всего излучающих атомов движется с наиболее вероятной для данной температуры газа скоростью  , k – постоянная Больцмана. Значит, наиболее темная полоска в уширенной спектральной линии будет лежать от центра линии на расстоянии ??, определяемом из условия, что V=V* - лучевая скорость источника излучения равна наиболее вероятной скорости движения молекул газа.  Приравнивая скорости, находим температуру газа:  .

БИЛЕТ 32

Ультрафиолетовая катастрофа — физический термин, описывающий парадокс классической физики, состоящий в том, что полная мощность теплового излучения любого нагретого тела должна быть бесконечной. Так как это не согласуется с экспериментальным наблюдением, в конце 19 века возникали трудности в описании фотометрическиххарактеристик тел. Проблема была решена при помощи квантовой теории излучения Макса Планка в 1900 году.

На заседании Немецкого физического общества Макс Планк зачитал свою историческую статью «К теории распределения энергии излучения в нормальном спектре», в которой он ввел универсальную постоянную h. Именно дату этого события, 14 декабря 1900 года, часто считают днем рождения квантовой теории.

Квантовая гипотеза Макса Планка состояла в том, что любая энергия поглощается или испускается только дискретными порциями, которые состоят из целого числа квантов с энергией ε таких, что эта энергия пропорциональна частоте ν с коэффициентом пропорциональности, определённым по формуле:

где h — постоянная Планка.

В 1905 году для объяснения явлений фотоэффекта Альберт Эйнштейн, использовав квантовую гипотезу Планка, предположил, что свет состоит из квантов, которые впоследствии назвали фотонами.

Для объяснения структуры атома Нильс Бор в 1913 году предложил существование стационарных состояний электрона, в которых энергия может принимать лишь дискретные значения. Этот подход, развитый Арнольдом Зоммерфельдом и другими физиками, часто называют старой квантовой теорией (1900—1924). Отличительной чертой старой квантовой теории, является сочетание классической теории и противоречащими ей дополнительными предположениями.

В 1925—1926 годах была заложены основы последовательной квантовой теории, в виде квантовой механики, содержащей новые фундаментальные законы кинематики и динамики. Первая формулировка квантовой механики содержится в статье Вернера Гейзенберга, датированная 29 июля 1925 года. Эту дату можно считать днем рождения нерелятивистской квантовой механики. Отметим, что развитие и формирование основ квантовой механики продолжается до сих пор, и связано, например, с исследованиями открытых и диссипативных квантовых систем, квантовой информатикой, квантовым хаосом и др. Помимо квантовой механики, важнейшей частью квантовой теории являетсяквантовая теория поля.

[править]Математические основания квантовой механики

Основная статья: Математическое основание квантовой механики

Математический аппарат нерелятивистской квантовой механики строится на следующих положениях:^[1]

• Чистые состояния системы описываются ненулевыми векторами   комплексного сепарабельного гильбертова пространства  , причем векторы   и   описывают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда  , где   — произвольное комплексное число. Каждой наблюдаемой однозначно сопоставляется линейный самосопряженный оператор.

• Наблюдаемые одновременно измеримы тогда и только тогда, когда соответствующие им самосопряженные операторы перестановочны (коммутируют).

• Эволюция чистого состояния гамильтоновой системы определяется уравнением Шредингера   где   — гамильтониан.

• Каждому вектору   из пространства   отвечает некоторое чистое состояние системы, любой линейный самосопряженный оператор соответствует некоторой наблюдаемой.

Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодный для описания широкого спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях. Дальнейшим развитием этого аппарата является уравнение Дирака, которое с хорошей точностью позволяет описать релятивистские эффекты. Для динамики открытых, негамильтоновых и диссипативных квантовых систем применяется уравнение Линдблада.

Формула Планка — выражение для спектральной плотности мощности излучения абсолютно чёрного тела, которое было получено Максом Планком для равновесной плотности излучения u(ω,T). После того как вывод Релея — Джинса для излучения абсолютно чёрного тела, столкнулся с ультрафиолетовой катастрофой (расходимость при больших частотах), стало ясно, что классическая физика не в силах объяснить его излучение. Для вывода формулы Планк в 1900 году сделал предположение о том, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии (квантов), величина которых связана с частотой излучения выражением:

По сути это было «рождение» фотона. Коэффициент пропорциональности   в последствии назвали постоянной Планка,   = 1.054 · 10^-34 Дж·с.

Вывод для абсолютно чёрного тела

Излучение абсолютно чёрного тела

Выражение для средней энергии колебания частотой ω дается выражением:

.

Количество стоячих волн в трёхмерном пространстве равно:

перемножив (1) и (2), получим плотность энергии, приходящуюся на интервал частот dω:

 откуда:

Зная связь испускательной способности абсолютно чёрного тела f(ω,T) с равновесной плотностью энергией теплового излучения  , для f(ω,T) находим:

Выражения (3) и (4)носят название формулы Планка.

Испускательную способность АЧТ, выраженную через длину волны λ т.е.   можно выразить используя соотношение:

, получим

Переход к формулам Релея—Джинса.

Формула Планка точно согласуется с экспериментальными данными во всём интервале частот от 0 до  . При малых частотах (больших длинах волн), когда  можно разложить экспоненту по  . В результате получим, что  , тогда (3) и (4) переходят в формулу Релея—Джинса.

 и

[править]Переход к закону Стефана — Больцмана.

Энергетическая светимость равна площади, ограниченной графиком функции f(ω,Т)

Для энергетической светимости следует записать интеграл:

Введём переменную  , тогда  ,  , получим

Полученный интеграл имеет точное значение:  , подставив его получим известный закон Стефана — Больцмана:

Подстановка численных значений констант даёт значение для   Вт/(м²   K⁴), что хорошо согласуется с экспериментом.

[править]Переход к закону смещения Вина

Для нахождения закона, по которому происходит смещение максимума φ(λ,Т) в зависимости от температуры, надо исследовать функцию φ(λ,Т) на максимум.

Для перехода к закону Вина, необходимо продифференцировать выражение (5) по λ и приравнять нулю (поиск экстремума):

.

Значение λ_m, при котором функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в фигурных скобках. Обозначим  , получится уравнение:

.

Решение такого уравнение даёт x=4.965. Следовательно  , отсюда немедленно получается:

.

Численная подстановка констант даёт значение для b, совпадающее с экспериментом.

БИЛЕТ 33

Фотоэффе́кт — это испускание электронов веществом под действием света (и, вообще говоря, любого электромагнитного излучения). В конденсированных веществах (твёрдых и жидких) выделяют внешний и внутренний фотоэффект.