Решение матричных игр 2m графоаналитическим методом

Если участник имеет 2 чистые стратегии, а – чистых стратегий, то матрица выигрышей для имеет вид:

.

Построим зависимость выигрыша участника от при чистых стратегиях участника :

.

Оптимальное находим из условия (рис. 2.3). Найденному соответствуют две чистые стратегии участника , которые будут для него активными. Таким образом, игру сводим к игре .

Если несколько прямых пересекаются в одной точке, то нужно брать две стратегии, которые имеют более острый угол, это обеспечит более устойчивое решение.

Решение матричных игр n2 графоаналитиским            методом Участник имеет чистых стратегий, а – 2 чистые стратегии, платежная матрица имеет вид:

.

Построим зависимость проигрыша участника от при чистых стратегиях : .

Оптимальное находим из условия , после чего выделяем две активные стратегии для участника и переходим к игре .

Решение матричных игр nm

Задана – матрица выигрышей для игрока . Необходимо найти оптимальные смешанные стратегии:

Рассмотрим решение игры для игрока A.

Алгоритм решения игры n x m для участника А

1. Переходим к положительным элементам матрицы: .

2. Решаем задачу линейного программирования:

  

при ограничениях

3. Находим вероятности: ( – значение целевой функции).

Выигрыш участника определяется в соответствии с выражением: .

Решение игры для игрока B

Алгоритм решения игры n x m для участника В

1. Переходим к положительным элементам платежной матрицы:

.

2. Решаем задачу линейного программирования:

3. Интерпретируем результаты:

.

4. Корректируем : .

Теорема о минимаксе. В матричной игре без седловой точки существует точка равновесия такая, что , и оптимальные решения для участников находятся из условий:

для – из условия ,

для – из условия ,

– цена игры.

Биматричные игры

В биматричных играх задаются матрицы выигрышей для обоих участников:

– матрица выигрыша для игрока

– матрица выигрыша для игрока .

Необходимо найти оптимальные смешанные стратегии и .

2.4.1. Принципы решения биматричных игр

Пусть – стратегия для игрока , а – стратегия для игрока .

Определение 3 (приемлемая стратегия) Смешанная стратегия является приемлемой для игрока , если для любой другой смешанной стратегии и фиксированной смешанной стратегии полезность для игрока стратегии больше, чем полезность стратегии . Таким образом, для любой смешанной стратегии можно определить приемлемую стратегию .

Можно условно графически представить зависимость приемлемой стратегии как функцию от

Решение биматричных игр 22

В качестве исходных данных заданы две матрицы:

Первый вариант

. Решение единственное – .

В торой вариант

. Решением будет , , точки пересечения (1,1) и (0,0) – неустойчивы.

Третий вариант

. Решением будет . Точки (1, 0) и (0, 1) дают неустойчивые решения.

Четвертый вариант

. Решение единственное – , .