10. Дисперсия дискретной с.В., вычисление и свойства.

Дисперсией(рассеянием) дискретной случайной величины называют матетмаическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания.

D(X) = M(X²) – (MX)²

Свойства:

1.Дисперсия постоянной величины С равна нулю.

D(C) = 0

2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

D(CX) = C²D(X)

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

D(X+Y) = D(X)+D(Y)

4.Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

D(X – Y) = D(X)+D(Y)

Доказательство.

D(X – Y) = D(X)+D(–Y)

D(X – Y) = D(X)+(–1)²D(Y) => D(X – Y) = D(X)+D(Y)

11. Ковариация двух дискретных с.В., вычисление и свойства. Коэффициент корреляции.

Ковариация = корреляционный момент.

Корреляционным моментом случайных величин Х и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

cov(X,Y) = M  [(X – M(X))  (Y – M(Y))]

cov(X,Y) = M(XY) – M(X)  M(Y)

Если случайные величины независимы, то их ковариация равна нулю. Обратное утверждение верно не всегда.

Таким образом, ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий.

Корреляционный момент двух независимых случайных величин Х и Y равен нулю.

Доказательство. Так как Х и Y независимые случайные величины, то их отклонения Х – М(Х) и Y – M(Y) также независимы. Пользуясь свойствами математического ожидания(М(Хk)=M(X) M(k)) и отклонения (математическое ожидание отклонения равно нулю), получим:

cov_(X,Y) = M  [(X – M(X))  (Y – M(Y))] =

= M [(X – M(X))] M [(Y – M(Y))] = 0

Из определения корреляционного момента следует, что он имеет размерность, равную произведению размерностей величин Х и Y. Другими словами, величина корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величин. По этой причине для одних и тех же двух величин величина корреляционного момента будет иметь различные значения в зависимости от того, в каких единицах были измерены величины.

Коэффициентом корреляцииr_xy называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

Так как размерность cov_XY равно произведению размерностей величин Х и Y, _химеет размерность величины Х, _y имеет размерность величины Y, то r_xy есть безразмерная величина. Таким образом, величина коэфф.корреляцииr_xyне зависит от выбора единиц измерения случайных величин. В этом состоит преимущество r_xy перед корреляционным моментов (ковариацией).

Очевидно, коэффициент корреляции независимых слуаныйх величин r_xy равен нулю (так как cov_(X,Y) = 0).