7.Условная вероятность.

Условной вероятностью события В, при условии, что событие А уже произошло, называется число Р (АВ) / Р (А), которое обозначается Р (АВ)/Р (А)= Р (А/В)=Р_а (В).

Свойства условной вероятности:

Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого (в противном случае события зависимы).

8.Независимость событий.

Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого (в противном случае события зависимы).

9.Формулы полной вероятности и байеса.

Пусть событие А может наступать только одновременно с одним из попарно несовместных событий: Н₁, Н₂,…,Н_n, образующих полную группу. Тогда вероятность события А определяется по формуле полной вероятности:

Р (А)= , где события Н₁, Н₂,…,Н_n, – гипотезы, а Р (А/Н_i) – условная вероятность наступления события А при наступлении i-той гипотезы (i=1, 2,…,n).

Условная вероятность гипотезы Н_i, при условии того, что событие А произошло, определяется по формуле Байеса:

Р (Н_i/А)=Р (Н_i)*Р (А/Н_i)/Р (А).

10.Последовательность независимых повторных испытаний.

Если испытания являются независимыми и вероятность появления события А в каждом испытании постоянна, то такие испытания называются повторными независимыми.

Пусть некоторый опыт повторяется в неизменных условиях n раз, причем каждый раз может либо наступить (успех), либо не наступить (неудача) некоторое событие А, где Р (А)=р – вероятность успеха, Р (Ā)=1-р=q – вероятность неудачи. Тогда вероятность того, что в к случаях из nпроизойдет событие А вычисляется по формуле Бернулли:

Р_n(к)=С^к_n * р^к * q^n-k.

Условия, приводящие к формуле Бернулли, называются частной схемой независимых испытаний.

11.Формула бернулли.

Пусть некоторый опыт повторяется в неизменных условиях n раз, причем каждый раз может либо наступить (успех), либо не наступить (неудача) некоторое событие А, где Р (А)=р – вероятность успеха, Р (Ā)=1-р=q – вероятность неудачи. Тогда вероятность того, что в k случаях из nпроизойдет событие А вычисляется по формуле Бернулли:

Р_n(k)=С^k_n * р^k * q^n-k.

12.Найвероятнейшее число успехов в схеме бернулли.

Теорема – наивероятнейшее число наступлений события А в n-испытаниях Бернулли заключены между числами: np-q, np+p, при этом если np-q целое, то наивероятнейших чисел два.

13.ТЕОРЕМА ПУАССОНА. Теорема (Пуассона) – пусть nдостаточно большое число, пусть р– достаточно близко к нулю, тогда для любого фиксированного mи любого постоянного λ=n*p верно равенство:

Р_n(m) =λ^m* е^-λ / m!

14.Локальная и интегральная формулы муавра-лапласа.

Теорема (локальная) – вероятность того, что в n – независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(р в пределах от 0 до 1), событие наступит ровно k-раз (безразлично в какой последовательности), приближённо равна (тем точнее, чем больше n): Р_n (k) ≈ φ(х) / , где φ(х)=1/ *e^{-(х/2)^2}, а х=k-np / .

Теорема (интегральная) – вероятность того, что из n-независимых испытаний в каждом из которых вероятность появления события равна р(0<р<1), событие наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз, равна: Р_n (k₁, k₂)=Ф(х₂)-Ф(х₁), где Ф(х)=1/ ,

х₁=k₁-np / ; х₂=k₂-np /

Для значений х>5 полагают Ф(х)=0,5.