10. Равновесие жидкости при равномерно ускоренном прямолинейном движении сосуда

Примером может быть равновесие жидкости в цистерне, движущейся с неко­торым ускорением а. В этом случае на жидкость будут действовать силы тяжести и сила инерции равномерно укоренного движения цистерны . Тогда равно-действующая единичная массовая сила определиться как сумма векторов ускорения пере­носного движения и ускорения свободного падения.

П ри данных условиях вектор единичной массовой силы переносного движения а бу­дет направлен в сторону противоположную движению цистерны, ускорение свободного падения g, как всегда ориентировано вертикально вниз, т.е. как показано на рисунке. При движении цистерны начальное положение свободной поверхности жидкости изменится. Новое положение свободной поверхности жидкости, согласно основному условию равно­весия жидкости будет направлена перпендикулярно вектору , т.к., равнодействующий вектор массовых сил должен быть направлен по внутренней нормали к свободной поверх­ности жидкости. Наклон свободной поверхности жидкости к горизонтальной плоскости определяется соотношением ускорений

Выберем некоторую точку М расположенную внутри жидкости на глубине под уровнем свободной поверхности (расстояние до свободной поверхности жидкости изме­ряется по нормали к этой поверхности). В точке М выделим малую площадку парал­лельную свободной поверхности жидкости. Тогда уравнение равновесия жидкости запи­шется в следующем виде:

Величину заменим эквивалентной величиной , где h -погружение точки М под уровень свободной поверхности жидкости (измеряется по вертикали). Эти две величины одинаковы, т.к. . После этих преобразований уравнение равновесия жидкости в цистерне примет привычный вид, соответствующий записи основного закона гидростатики:

Таким образом, давление в любой точке жидкости будет зависеть только от положе­ния этой точки относительно уровня свободной поверхности жидкости. Поверхности равного давления будут параллельны свободной поверхности жидкости, и иметь такой же уклон a/g

11. Равновесие жидкости в равномерно вращающемся сосуде

Свободная поверхность жидкости, залитой в цилиндрический сосуд и находящейся под действием сил тяжести примет форму горизонтальной плоскости на некотором уровне относительно дна сосу­да. После того как мы приведём сосуд во вращение вокруг его вертикальной оси с некоторой постоянной угловой скоростью со = const, начальный уровень свободной по­верхности жидкости изменится: в центре сосуда он пони­зится, а по краям сосуда повысится. При этом форма сво­бодной поверхности примет явно вид криволинейной по­верхности вращения. Это явление объясняется тем, что при вращении сосуда вокруг своей оси жидкость в нём бу­дет испытывать ускорение переносного движения направленное в сторону стенок сосуда.

Поскольку равнодействующая двух сил: силы тя­жести и центробежной силы должна быть направлена по нормали к свободной поверхно­сти жидкости в каждой точке поверхности, то эта равнодействующая будет иметь, как быль сказано выше, две составляющие соответственно силу тяжести, направленную вер­тикально вниз и центробежную, направленную в горизонтальной плоскости.

В каждой точке свободной поверхности жидкости АОВ вектор углового ускорения будет направлен под некоторым углом а по отношению к касательной плоскости, проходящей через данную точку свободной поверхности.

Отсюда:

В центре на оси вращения, на расстоянии от дна сосуда будет расположена

самая низкая точка свободной поверхности жидкости, т.е.

Отсюда: свободная поверхность жидкости находящейся в равномерно вращающемся вокруг его вертикальной оси сосуде будет иметь вид параболоида вращения (кривая АОВ-парабола).

Выберем любую точку жидкости на глубине под свободной поверхностью h (в част­ности точка находится на дне сосуда), тогда давление в ней будет равно:

Этот вывод можно распространить и на более сложные случаи вращения сосуда, на­клоняя ось его вращения под углом к горизонту; результат получим тот же, что подтвер­ждает универсальность формулы основного урав­нения гидростатики.