Глава 7

СКАЛЯРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

7.1. Выбор в условиях определенности

Для принятия решений в условиях определенности характер­на полная информированность ЛПР о закономерностях поведе­ния рассматриваемой системы, объекта или процесса при извест­ном состоянии окружающей среды. Это означает, что между вы­бираемыми вариантами решения задачи и результатом выбора имеется детерминированная взаимная связь, заданная функци­ями и отношениями.

З адача оптимального детерминированного выбора записыва­ется так:

где — n-мерный вектор признаков варианта; Fk(х) — целевые функции, или критерии оптимальности;

— заданные функции, образующие систему ограничений из равенств и/или неравенств; Х^а — множество допустимых зна­чений; 8 — детерминированные факторы. Эквивалентная форма записи задачи оптимального выбора имеет вид

З адачи оптимального детерминированного выбора можно условно разделить на вариационные задачи и задачи математи­ческого программирования.

Для решения вариационных задач оптимизации применяют­ся методы вариационного исчисления и математического анали­за, позволяющие находить экстремумы критериев оптимально­сти. Критерии и ограничения g_q = g_q(x:), q = 1, ...p, предполагаются дифференцируемыми функциями многих переменных x1,….,xn.Множество допустимых значений Х^а может также являться подмножеством некоторого функ­ционального пространства.

Классические методы оптимизации подразделяются на мето­ды отыскания безусловного экстремума функции многих пере­менных при отсутствии ограничений и отыскания условного экс­тремума функции многих переменных при наличии ограничений в виде равенств и неравенств.

Н еобходимые условия экстремума дифференцируемой функ­ции задаются уравнениями . Широко известен метод множителей Лагранжа для нахождения экстре­мума скалярной функции при ограничениях основанный на использовании функции Лагранжа

Оптимальный вариант принадлежит мно­жеству решений системы n + р уравнений, которые получаются приравниванием к нулю частных производных функции L/(x, X) по Xi и X_q. Для выделения лучшего варианта используют неко­торые достаточные условия экстремума. Существуют и другие так называемые неклассические методы решения задач оптими­зации в бесконечномерном пространстве.

Задача математического программирования формулирует­ся обычно как задача максимизации (или минимизации) целевой функции у = f(х) на множестве допустимых решений Х^а, кото­рое задается системой равенств и/или неравенств:

Критерий оптимальности f(x) и входящие в ограничения функции g_q(x) являются скалярными функциями векторного аргумента Задачи и ме­тоды математического программирования различаются по виду критерия оптимальности, характеру ограничений, особенностям множества допустимых решений, зависимости процедуры выбо­ра от времени.

7.2. Задача управления запасами

Рассмотрим в качестве примера классической задачи скаляр­ной оптимизации задачу управления запасами. Такая задача возникает при необходимости создать оптимальный запас ма­териальных ресурсов, сырья, готовой продукции, предметов по­требления и тому подобного в целях удовлетворения спроса на протяжении заданного промежутка времени.

Модель управления запасами предназначена для расчета мо­ментов времени и объемов каждого очередного пополнения за­пасов, т. е. сроков размещения и величины заказа. Обычно эти характеристики ищутся из условия минимизации удельных (в единицу времени) суммарных расходов связанных с управлением запасами, как функции величины запаса х. В об­щем случае удельные суммарные расходы складываются из сле­дующих составляющих:

Удельные эксплуатационные расходы связаны с расходами на хранение запасов, содержанием складских помещений и оборудования, амортизационными отчислениями, убытками от порчи запасенных ресурсов и т. п. Эксплуатационные расходы возрастают с увеличением объема запасов.

Непроизводственные расходы определяются главным об­разом расходами на содержание управленческого аппарата, оформление заказов и предполагаются условно постоянными, практически не зависящими от размера заказа. Поэтому удель­ные непроизводственные расходы уменьшаются при увеличении промежутков времени между очередными зака­зами.

Дополнительные издержки представляют собой расхо­ды, вызванные дефицитом (неудовлетворенным спросом) из-за отсутствия нужных запасов. Обычно такие финансовые потери оценить труднее всего, поскольку они могут быть вызваны плохо формализуемыми и неизмеряемыми факторами.

Величина и срок размещения заказа определяются различ­ными обстоятельствами и, в первую очередь, ожидаемыми по­требностями в запасах. По своему характеру эти потребности могут быть известными или прогнозируемыми; определенными (детерминированный спрос) или неопределенными (вероятност­ный спрос); стационарными (не зависящими от времени) или нестационарными (меняющимися во времени).

Влияние на формулировку модели управления запасами ока­зывают также многие другие факторы, в их числе:

• условия пополнения запаса (в определенный момент време­ни или при определенном уровне оставшегося запаса);

1. кратность пополнения запаса (однократное пополнение в течение заданного периода времени — избыточный запас, или многократное в некоторые моменты времени — недостаточный запас);

2. способы пополнения запаса (одномоментное или равномер­но распределенное во времени);

3. период управления запасами (конечный или бесконечный);

4. сроки выполнения заказа (фиксированные или случайные);

5. имеющиеся виды запасов (ограничения на количества и вид пунктов хранения, производства или потребления запасов).

Сложность модели управления запасами возрастает при пе­реходе от определенного и стационарного спроса к неопределен­ному и нестационарному.

Наиболее простыми задачами управления запасами являют­ся детерминированные задачи, описываемые однопродуктовой стационарной моделью с постоянным спросом. Примером таких задач могут служить потребление основных продуктов питания (хлеб, молоко, масло, сахар, соль), использование расходных ма­териалов (бумага, канцелярские товары, строительные матери­алы, крепежные изделия — гайки, болты и т. п.).

В однопродуктовой стационарной модели с постоянным спро­сом уровень запаса х является функцией времени, имеющей пи­лообразную форму (рис. 7.1). Минимальный уровень жо, при ко­тором запас должен быть пополнен, называется точкой заказа. Длительность цикла заказа — промежуток времени Т между соседними точками заказа — определяется имеющимся запасом х и интенсивностью спроса d в единицу времени Т = x/d. При одной и той же интенсивностью спроса высота пика функции пропорциональна длительности цикла.

Рассмотрим некоторые детерминированные задачи управле­ния однопродуктовым запасом, отличающиеся условиями.

1. Отсутствие дефицита, единовременное пополнение за­паса. Суммарные расходы в единицу времени состоят из удель­ных эксплуатационных и непроизводственных рас­ходов. Положим для простоты, что эксплуатационные расхо­ды по определению пропорциональны уровню среднего запаса где h — эксплуатационные расходы в едини­цу времени, связанные с хранением единицы запаса, а непроиз­водственные расходы обратно пропорциональны длительности цикла заказа где к — общие непроизвод­ственные расходы. Тогда удельные общие расходы равны

Оптимальный уровень запаса x* находится из условия мини­мизации функции

dz hkd

Из уравнения получаем величину так называемого экономичного размера заказа (формула Уилсона) и оптимальное значение удельных суммарных расхо­дов (Читателю рекомендуется самостоятельно убедиться, что в точке хA выполняется доста­точное условие минимальности функции z.)

Б . Отсутствие дефицита, равномерное пополнение запаса. Предположим, что запас пополняется за счет выпускаемой про­дукции с интенсивностью производства в единицу времени г, ко­торая превосходит интенсивность спроса d(r > d). Тогда для удельных суммарных расходов имеем

Отсюда получаем выражения для экономичного размера за­каза и оптимальных расходов zБ=

2. Н аличие дефицита, единовременное пополнение запаса. В этом случае в суммарные расходы дополнительно включают­ся издержки обусловленные отсутствием необходимого уровня запасов, и удельные общие расходы определяются выра­жением

г де v — величина дефицита (неудовлетворенного спроса); Ъ — удельные потери от дефицита в единицу времени.

Оптимальная стратегия управления запасами состоит в зака­зе х* единиц ресурсов через каждые Т* =x*/d единиц времени. В реальных условиях существует некоторый промежуток вре­мени Т_зак между моментом размещения заказа и его фактиче­ским выполнением. Момент заказа определяется тогда условием to = =|Т*— Т_зак| (см. рис. 7.1). Фактически точка размещения за­каза определяет уровень запаса соответствующий мо­менту to. Заметим, что в приведенных моделях управления запа­сами в любой момент времени имеется более одного размещен­ного, но не выполненного заказа.

В практических ситуациях уровень спроса, величина дефици­та, сроки выполнения заказа и другие показатели могут иметь не детерминированный, а вероятностный характер, число видов ре­сурса не единственно. Такие ситуации описываются более слож­ными много продуктовыми моделями, для решения которых при­меняются методы линейного и динамического программирова­ния, методы оптимального выбора в условиях неопределенности.