5. Дифференциальное уравнение равновесия жидкости ( уравнения Эйлера)

Связь между массовыми силами и давлениями в жидкости, устанавливается уравнениями гидростатики, для получения которых необходимо, приравнять нулю производную по времени: . Пологая и приравнивая равенство нулю касательных напряжений уравнение гидростатики можно записать: , знак минус появился при переходе от напряжений к давлению. , представляющее уравнение равновесия жидкости в векторной форме (уравнение Эйлера). Оно справедливо как для абсолютного, так и для относительного равновесия жидкости. Из уравнения Эйлера следует, что векторное поле напряжений массовых сил при равновесии не может быть произвольным. Применим к нему дифференциальную операцию rot, считая  = const, . Как известно вихрь потенциального течения равен нулю, то есть: . Тогда . есть потенциальный вектор, то есть поле напряжений массовых сил в этом случае обладает потенциалом U: . Таким образом, равновесие несжимаемой жидкости возможно только в случае действия на нее потенциальных массовых сил.

Запишем уравнение Эйлера .

В этом уравнении выражение в скобках представляет собой полный дифференциал давления dp. Следовательно: .

6. Поверхности равного давления.

Поверхность, все точки которой испытывают одинаковое давле­ние, называются поверхностью равного давления. Анализируя основ­ное уравнение гидростатики можно заключить, что поверхностя­ми равного давления в объеме покоящейся относительно земли жид­кости являются горизонтальные плоскости (при p = const будет и z = const)

Свободной поверхностью называют поверхность жидкости, кото­рая граничит с газовой средой. Все точки такой поверхности испыты­вают одинаковое внешнее давление p₀. Свободная поверхность предс­тавляет собой поверхность равного давления и она горизонтальна, если на жидкость действуют только силы тяжести (рис. 1).

В случае покоя жидкости относительно сосуда, который движется с ускорением а, на частицы жидкости действуют силы тяжести и силы инерции в противоположную сторону движения (рис.2). При равно­весии равнодействующая должна быть перпендикулярна свободной поверхности, которая является поверхностью равного давления. В рас­сматриваемом случае свободная поверхность наклонена к горизонту под углом α (tgα = a/g).

При относительном покое жидкости в сосуде, который вращается с угловой скоростью ω, на каждую частицу с координатой r действуют силы тяжести, равные gm, и центробежные силы инерции, равные mω²r.

В этом случае поверхность равного давления представляет собой параболлоид вращения.

1. 2

7. Основное уравнение гидростатики.

Гидростатика – раздел гидромеханики, изучающий равновесие жидкости. Различают абсолютное равновесие жидкости, когда из массовых сил действует только сила тяжести и, относительное равновесие, когда на жидкость, кроме сил тяжести, действуют инерционные силы. В этом случае объем жидкости может двигаться не деформируясь, т.е. как абсолютно твердое тело, в то время как движение частиц жидкости друг относительно друга отсутствует. Здесь мы рассмотрим только гидростатику несжимаемой жидкости

Основным законом (уравнением) гидростатики называется уравнение: , где

p — гидростатическое давление (абсолютное или избыточное) в произвольной точке жидкости,

ρ — плотность жидкости,

g — ускорение свободного падения,

z — высота точки над плоскостью сравнения (геометрический напор),

H — гидростатический напор.

Уравнение показывает, что гидростатический напор во всех точках покоящейся жидкости является постоянной величиной.

Иногда основным законом гидростатики называют принцип Паскаля.

8. Геометрическая интерпретация основного уравнения гидростатики.

Ордината z рассматриваемой точки жидкости отсчитывается от произвольной горизонтальной плоскости XOY, принятой в качестве координатной. Эту плоскость наз плоскостью сравнения, а отсчитанную от нее координату z точки –геометрическим напором в данной точке жид.

Величина имеет линейную размерность и представляет собой геометрическую высоту, на которую поднимется жидкость под действием давления р. Высоту можно измерить, если подсоединить к сосуду трубку, из которой удален воздух. Жид в трубке поднимется на высоту . Если трубка открыта и давление на свободной поверхности равно атмосферному, то жидкость в трубке поднимется на высоту , соответствующую избыточному давлению.

Графическая иллюстрация напоров жидкости в сосуде при

р₀  р_атм

Высота соответствует давлению р. Высота называется пьезометрической высотой. Высота, соответствующая давлению р_вак, называется вакуумметрической высотой. Высота может быть измерена с помощью простейшего вакуумметра.

Сумму высот называют гидростатическим напором Н. Пьезометрический напор Н_п меньше гидростатического напора на высоту, соответствующую атмосферному давлению, .

9. Закон Паскаля и его практическое приложение. Графическое изображение давле­ния .

Применив основное уравнение гидростатики к двум точкам покоящейся жидкости , изменим давление в первой точке на р, не нарушая равновесия жидкости. Тогда во второй точке давление должно измениться на некоторую величину р₂. Из осн. урав. гидростатики следует, что

т.е. изменение давления в любой точке покоящейся жидкости передается в остальные ее точки без изменений. Это положение называется законом Паскаля. На этом законе основан принцип работы гидравлических машин. Рассмотрим одну из них.Гидравлический пресс – это машина, которая используется для получения больших усилий при прессовании, штамповке, испытании материалов и т.п. Она состоит из двух сообщающихся цилиндров с поршнями малого d и большего D диаметров. первый соединен с рычагом, дающим дополнительный выигрыш в силе. Если к рычагу приложена сила Р₀, то на малый поршень передается сила .Следовательно, в жидкости под поршнем давление увеличивается на величину где  - площадь поперечного сечения малого поршня.Изменение давления передается во все точки занятого жидкостью пространства, а значит, и под большой поршень. Пренебрегая практически незначительной поправкой на разность высотных положений нижней поверхности поршней, получаем силу давления на большой поршень: ,где  - площадь поперечного сечения большого поршня. Отношение / называют передаточным числом. Очевидно, для цилиндров / = (D/d)².

Учитывая потери энергии на трение в движущихся частях введем к.п.д. , получаем расчетную формулу Обычно  = 0,80-0,85. в современных гидравлических прессах развиваются усилия до 700 000 кН. Графическое изображение давления

10.Абсолютное и манометрическое давление. Вакуум. Приборы для измерения давления Давление в жидкости увеличивается с глубиной погружения, а формула абсолютного гидростатического давления в точке покоящейся жидкости имеет вид: . Часто давление на свободной поверхности воды равно атмосферному давлению р₀ = р_ат, в этом случае абсолютное давление определяется как: , а называют избыточным давлением и обозначают р_изб. Абсолютное гидростатическое давление может быть меньше атмосферного, но всегда больше нуля. Избыточное давление может быть и больше, и меньше нуля. Положительное избыточное давление называют манометрическим давлением р_ман: . Манометрическое давление показывает, на сколько абсолютное давление превышает атмосферное.Отрицательное избыточное давление называют вакуумметрическим давлением р_вак: . Вакуумметрическое давление показывает насколько абсолютное давление ниже атмосферного. Приборы для измерения гидростатического давления можно подразделить на две группы: жидкостные и механические.

Приборы для измерения гидростатического давления: жидкостные и механические. В жидкостных приборов лежит принцип сообщающихся сосудов. Простейшим является пьезометр. Пьезометр прозрачную трубку 5 мм. Один конец присоединен к сосуду, в котором измеряется давление, а другой конец открыт. , где h_п – высота подъема жидкости в пьезометре . Определить давление р₀ в сосуде над свободной поверхностью. , где h_С – глубина погружения точки С относительно уровня жидкости в сосуде. . Пьезометр является очень чувствительным и точным прибором, для измерения небольших давлений. Жидкостные манометры, в которых давление уравновешивается не той же жидкостью, а жидкостью большего удельного веса; обычно жидкостью явл. ртуть. Удельный вес ртути больше чем у воды в 13,6 раза. Ртутный манометр. Под давлением р в сосуде уровень ртути в левом колене манометра понижается, а в правом – повышается. , где _ж и _рт – плотности соответственно жидкости в сосуде и ртути. . Разность давлений в двух сосудах в одном сосуде, применяют дифференциальные манометры.

, , , . Повышения точности измерений, микроманометры. . Измерения давления меньше атмосферного, вакуумметрами. . , в сосуде наз. вакуумметрической высотой (h_вак.)Большие давления, применяют приборы второго типа – механические. пружинный манометр. И существует мембранные манометры.

пьезометр

11.Давление жидкости на плоские стенки

Рассмотрим плоскую стен­ку с площадью смоченной час­ти , наклоненную к горизонту под углом . Гидростатическое давление жидкости не остается постоянным в пределах смоченной части стенки. Разбив площадь  на элементарные площадки d и считая в пределах dw давление р неизменным, значение силы давления dР на элементарную площадку как dР = рdw. Вектор dР направлен со стороны жидкости по нормали к площадке. Суммарное воздействие жидкости сведется к равнодействующей силе Р, значение которой определяется по соотношению:

Сила давления покоящейся жидкости на плоскую наклонную стенку равна произведению площади w на давление жидкости в центре тяжести смоченной части стенки. Сила направлена со стороны жидкости по нормали к стенке. При р₀ = р_ат сила избыточного давления равна: . Далее силу избыточного давления обозначаем Р. Линия действия силы Р пересекает площадку в точке D, которая наз центром давления. Центр давления не совпадает с центром тяжести площади , поэтому необходимо определять координаты центра давления. Сила Р₀ = р₀, связанная с действием в каждой точке смоченной площади  одного и того же давления р₀, приложена в центре тяжести смоченной площади (точке С). Сила Р приложена в другой точке, не совпадающей с точкой С. Если необходимо найти точку приложения суммарной силы Р_абс, то ее определяют по правилу сложения сил. Пусть рассматриваемая площадь  имеет ось симметрии (линия 0l ). Тогда центр давления D будет расположен на оси симметрии и для определения его положения достаточно найти расстояние от линии уреза жидкости до точки D, то есть l_ц.д. Воспользовавшись теоремой моментов: , где – статический момент смоченной площади относительно линии уреза жидкости. Центр давления силы избыточного давления на плоскую наклонную площадку расположен ниже центра тяжести смоченной площади, считая по оси симметрии (по наклону) стенки, на .