Проблема собственных значений и методы ее решения.

Число λ называется собственным числом матрицы A, если найдется ненулевой вектор x такой, что: A x = λ x

Составляем характеристический полином матрицы. Для этого вычитаем λ из элементов, стоящих на главной диагонали исходной матрицы и находим её определитель

A = (4 - λ)(6- λ) – 8*2 = 24 – λ4 - 6 λ + λ² -16 = λ²-10 λ+8

Потом это приравниваем к нулю и решаем уравнение. Корни уравнения и будут собственными числами матрицы.

λ1 ≈ 0.876894374382339

λ2 ≈ 9.12310562561766

Поиск максимального по модулю собственного числа и соответствующего собственного вектора (степенной метод, метод скалярных произведений).

Степенной метод нужен для того чтобы найти максимальное по модулю собственное значение матрицы.

Метод скалярных произведений сходится в 2 раза быстрее, чем степенной метод.

9. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ.

   1. Среднеквадратическая аппроксимация и метод наименьших квадратов.

   2. Среднеквадратическая аппроксимация функций на интервале.

   3. Аппроксимация алгебраическими многочленами.

   4. Аппроксимация ортогональными многочленами.

   5. Равномерная аппроксимация функций (понятие).

   6. Интерполяция функций.

   7. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

   8. Конечные разности.

   9. Интерполяционные формулы.

   10. Интерполирование функций двух переменных.

   11. Численное дифференцирование.

   12. Интерполирование сплайнами.

10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.

    1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса, Чебышева, Гаусса.

    2. Вычисление несобственных интегралов. Кубатурные формулы.

    3. Вычисление кратных интегралов.

    4. Метод Монте-Карло.

11. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

    1. Задача Коши: постановка и пути решение.

    2. Простейшие методы решения задачи Коши.

    3. Методы Рунге-Кутта.

    4. Решение задачи Коши для систем уравнений.

    5. Краевые задачи.

    6. Разностные методы.

    7. Метод прогонки.

Аппроксимация функции.

Аппроксимация функции – замена какой-то функции более простой функцией, так чтобы эта замена допускала удобные вычисления. Существует три основных подхода к такой замене:

1. Критерий интерполяции - точное совпадение значений искомой функции с “экспериментом”

2. Критерий среднеквадратической аппроксимации - сумма квадратов отклонений значений искомой и табличной функций минимальна

3. Критерий равномерной аппроксимации - максимальное по абсолютной величине из отклонений значений искомой и табличной функций минимально