Вопрос 4

Теорема 1. Всякая монотонно возрастающая (неубывающая) и ограниченная сверху числовая последовательность сходится.

Теорема 2. Всякая монотонно убывающая (невозрастающая) и ограниченная снизу числовом последовательность сходится.

Поясним эти  теоремы на двух частных  примерах.

Пример 1. Последовательность

1;    1,4;    1,41;    1,414;    1,4142;   ...

составлена из десятичных приближений числа √2 с недостатком. Эта последовательность является монотонно возрастающей (точнее, монотонно неубывающей), поскольку каждый ее член, начиная со второго, получается из предыдущего путем приписывания соответствующего десятичного знака. Вместе с тем эта последовательность ограничена сверху, так как любой ее член меньше двух. Следовательно, по теореме 1 данная последовательность имеет предел. (Этим пределом является иррациональное число √2.)

Пример 2.    Последовательность

p4,  p8,   p16,   ...

периметров правильных 4-, 8-, 16-угольников и т. д., вписанных в некоторую окружность, является монотонно возрастающей (см. § 128) и ограниченной сверху (см. § 129). Следовательно, по теореме 1 существует предел этой последовательности. (К этому пределу мы еще вернемся в последующих параграфах.) К аналогичному  результату  можно    прийти,     рассматривая последовательность

Р4 , Р8 , Р16 , ... периметров правильных 4-, 8-, 16-угольников и т. д., описанных около некоторой окружности. Для этого придется использовать теорему 2.

В заключение отметим, что иногда указанные две теоремы объединяют   в   одну: Любая  монотонная и   ограниченная  числовая   последовательность имеет предел.

Вопрос 5

e — математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e». Число e играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также во многих других разделах математики.

Способы определения

Число e может быть определено несколькими способами.

Через предел:

 (второй замечательный предел).

Как сумма ряда:

 или  .

Через определённый интеграл:

Как единственное число a, для которого выполняется

Как единственное положительное число a, для которого верно

Свойства

Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения   является функция  , где c — произвольная константа. Число e иррационально и даже трансцендентно. Его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.

Вопрос 6

Числовые последовательности

      Если каждому числу n из натурального ряда чисел: 1, 2, 3, …, n, … поставлено в соответствие вещественное число xn, то множество вещественных чисел x1, x2, …,xn, … называется числовой последовательностью или просто последовательностью.   Числа x1, x2, x3, …, xn,… будем называть элементами (или членами) последовательности, xn = f (n) – формула, по которой находится каждый член последовательности, называется общим членом последовательности. Сокращенно последовательность будем обозначать символом { xn }   Примеры числовых последовательностей

1)  

2)  

3)  an = a1 + (n - 1)·d – арифметическая прогрессия,

4)  xn = x1·qn - 1– геометрическая прогрессия,

5)  xn = τ (n) – число делителей числа n,

6)   xn = n !

  Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента. Последовательность можно задать соотношением между двумя последовательными членами последовательности. К примеру, арифметическую прогрессию можно задать соотношением an = an-1 + d, начиная со второго члена. По самому определению, последовательность содержит бесконечное число элементов, любые два ее элемента отличаются, по крайней мере, своими номерами.

Арифметические действия над числовыми последовательностями

  Пусть даны последовательности {xn} и {yn}. Произведением последовательности {хn} на число m назовем последовательность m·x1, m·x2, …, m·xn, ….

Суммой данных последовательностей назовем последовательность x1 + y1, x2 + y2, …, xn + yn, ….

Разностью – последовательность x1 − y1, x2− y2, …, xn− yn, …,

Произведением — последовательность x1·y1, x2·y2, … xn·yn,…

Частным — последовательность   если все члены последовательности {yn} отличны от нуля.

  Указанные действия над последовательностями символически записываются так:

–     m·{ xn} = {m· xn}

–    { xn} + { yn} = { xn + yn}

–  { xn} - { yn} = { xn - yn}

–  { xn} · { yn} = { xn · yn}

–   если yn ≠ 0.

Ограниченные и неограниченные последовательности

      Числовая последовательность {хn} называется ограниченной, если существуют числа m и M, такие, что любой элемент xn этой последовательности удовлетворяет неравенствам

m ≤ xn ≤ M.

      Пусть А = max{ | m |, | M |}. Тогда условие ограниченности последовательности можно записать в виде | xn | ≤ А   n ≥ N:

   Здесь и в дальнейшем будем пользоваться квантором всеобщности   и квантором существования  . Не вдаваясь в подробности определения этих логических операций, будем читать квантором всеобщности   как "для любого", а квантор существования   как "существует".   Последовательность {хn} называется неограниченной, если для любого как угодно большого положительного числа А существует элемент xn этой последовательности, удовлетворяющий неравенству |xn | > A, (т.е. либо xn > A, либо xn < - A):

  Последовательность ограничена сверху, если все ее элементы принадлежат промежутку ( - ∞, M]:

  Последовательность ограничена снизу, если все ее элементы принадлежат промежутку [m, + ∞):

   З а м е ч а н и е. Неограниченная последовательность может быть ограничена сверху (снизу).   Сравнивая запись с помощью логических символов двух последних определений, видим, что при построении отрицаний символы   и   заменяют друг друга и неравенства меняют свой смысл.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

   Определение. Последовательность { хn} называется бесконечно большой, если для как угодно большого любого положительного числа А существует номер N, зависящий от этого числа А, такой, что для всех последующих номеров n > N выполняется неравенство | xn | > A:

   Замечание. Очевидно, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Однако неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3, …, 1, n + 1, … не является бесконечно большой, поскольку при A > 1 неравенство | xn| > A выполняется не для всех элементов xn с нечетными номерами.    Определение. Последовательность {αn} называется бесконечно малой, если для любого как угодно малого положительного числа ε > 0 существует номерN, зависящий от этого ε, такой, что для любых n > N выполняется неравенство |αn| < ε:

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями

   Теорема 1. Если { хn} — бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от нуля, то последовательность

бесконечно малая, и, обратно, если {αn} — бесконечно малая последовательность и все её члены отличны от нуля {αn} ≠ 0, то последовательность { 1 / αn } – бесконечно большая.   Доказательство. Пусть { хn} — бесконечно большая последовательность. Возьмем любое как угодно малое положительное число ε > 0 и положим

Согласно определению для этого существует такой номер N , что при n > N будет | xn | > A. Отсюда получаем, что

для всех n > N. А это значит, что последовательность

бесконечно малая.

Оновные свойства бесконечно малых последовательностей

   Теорема.Сумма (разность) двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.   Доказательство. Пусть {αn} и {βn} — бесконечно малые последовательности. Требуется доказать, что последовательность αn ± βn тоже бесконечно малая. Пусть ε – произвольное как угодно малое положительное число, N1 – номер, начиная с которого выполняется неравенство

,

N2 - номер, начиная с которого выполняется неравенство

.

(Такие номера N1 и N2 найдутся по определению бесконечно малой последовательности.) Возьмем

N = max {N1, N2},

тогда при n > N будут одновременно выполняться два неравенства:

и

Следовательно, при n > N имеем

Это значит, что последовательность αn ± βn бесконечно малая.   Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.   Теорема 3. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.   Доказательство. Пусть {αn} и {βn} — бесконечно малые последовательности. Требуется доказать, что последовательность {αn·βn} тоже является бесконечно малой. Так как последовательность {αn} бесконечно малая, то для любого как угодно малого положительного числа ε> 0 существует номер N1, зависящий от ε, такой, что для всех последующих номеров n > N1 ,будет выполнено неравенство

а так как {βn) – также бесконечно малая последовательность, то для любого как угодно малого положительного числа ε> 0 существует номер N2, зависящий от ε, такой, что для всех последующих номеров n > N2 ,будет выполнено неравенство

Возьмём N = max{N1, N2}, тогда при n > N будут одновременно выполняться оба неравенства. Следовательно,

Это означает, что последовательность {αn·βn} бесконечно малая.   Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.    Теорема 4.Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.   Доказательство. Пусть {xn} – ограниченная, а {αn} – бесконечно малая последовательности. Требуется доказать, что последовательность{xn·αn} бесконечно малая. Так как последовательность {xn} ограничена, то существует число А > 0 такое, что любой элемент числовой последовательности {xn} удовлетворяет неравенству | xn| ≤ A. Возьмем любое как угодно малое положительное число ε > 0. Поскольку последовательность {αn} бесконечно малая, то для любого как угодно малого положительного числа ε/ A существует номер N такой, что при всех n > N выполняется неравенство

 

Следовательно, при n > N имеем

Это означает, что последовательность {xn·αn} является бесконечно малой числовой последовательностью.   Следствие. Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.