5 Определение и основные свойства тройного интеграла.

Пусть в замкнутой кубируемой области V пространства XYZ задана произвольная функция . Разобьем область V на n областей не имеющих общих внутренних точек. В каждой точке области возьмем произвольно точку . Значение функции в точке умножим на объем i-й области и сложим такие произведения по всем областям деления. Полученная сумма называется интегральной суммой для функции по области V. Для функции можно составить бесчисленное множество интегральных сумм по области V.

Если при стремлении к нулю шага разбиения области V существует предел интегральных сумм, то этот предел называется тройным интегралом от функции по области V и обозначается символами:

или

При этом - подынтегральная функция, V – область интегрирования, x, y и z – переменные интегрирования, - элемент объема.

Таким образом, если этот предел существует.

Из определения следует, что тройной интеграл, так же как и двойной, не зависит от совершаемых при построении интегральных сумм разбиения области V на части и выбора точек на этих частях.

Тройные интегралы являются непосредственным обобщением двойных интегралов на случай трехмерного пространства.

Имеют место следующие достаточные условия существования тройного интеграла.

Теорема 1. Если функция непрерывна в замкнутой области V, то тройной интеграл существует.

Решение задачи о массе области V с помощью тройного интеграла запишется в виде:

где - плотность распределения массы.

В этом и заключается механический смысл тройного интеграла от неотрицательной функции. Установить геометрический смысл тройного интеграла для произвольной функции , не выходя за пределы трехмерного пространства, не представляется возможным. В случае, если в области V