2 Методические указания к выполнению ргр 1

Для нахождения нулей и полюсов используйте следующие формулы:

- в случае вещественных нулей

;

- в случае комплексно-сопряженных нулей

, где , ;

- в случае комплексно-сопряженных полюсов

, где , .

Формула импульсной характеристики состоит из трех составляющих:

где n = 0, 1, 2, … …

где n = 1, 2, 3, …

где n = 2, 3, 4, …

Формула амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) имеет следующий вид

Для полного описания частотной характеристики фильтра с вещественными коэффициентами достаточно задать ее в основной полосе нормированных частот

Для оценки АЧХ и ФЧХ звена второго порядка можно использовать формулы экспресс-анализа для , которые имеют следующий вид

; ; .

Максимум АЧХ приблизительно будет находиться на нормированной частоте , которая соответствует углу положения полюса в z- плоскости

Для нормировки фильтра достаточно умножить коэффициенты числителя передаточной функции на нормирующий множитель

где – максимальное значение АЧХ на интервале

При наличии комплексно-сопряженных нулей нужно определить минимум АЧХ, который будет приблизительно находиться на частоте , что соответствует углу положения нуля в z – плоскости

Если в точке значение то будет не максимум, а нуль.

Рассмотрим пример задания передаточной функции в виде следующих многочленов:

Тогда будет иметь следующий вид:

Изобразим карту нулей и полюсов, для этого преобразуем передаточную функцию к виду без отрицательных степеней

. .

Из числителя передаточной функции видно, что имеет два вещественных нуля и . Два комплексно-сопряженных полюса определяем по квадратному уравнению знаменателя по формуле

где ,

Карта нулей и полюсов имеет вид, представленный на рисунке 1.

Im

+1 Re

-1 1

Рисунок 1

Расчет импульсной характеристики производится по следующей формуле:

Произведем расчет пяти точек составляющей импульсной характеристики :

Произведем расчет пяти точек составляющей импульсной характеристики :

Расчет пяти произведенных отсчетов импульсной характеристики сводим в таблицу 2.

Т а б л и ц а 2

№	0	1	2	3	4
H 0,n	1	-0.2	-0.3	0.128	0.076
H1,n	0	-1	0.2	0.3	-0.128
	1	-1.2	-0.1	0.428	-0.052

График импульсной характеристики представлен на рисунке 2.

Рисунок 2

Общая формула амплитудно-частотной характеристики для фильтра второго порядка будет иметь следующий вид:

Преобразуем ее в формулу заданного фильтра:

.

Используя формулы экспресс-анализа произведем расчет трех значений АЧХ на нормированных частотах :

.

При максимум АЧХ будет приблизительно находиться на частоте

.

Произведем расчет этого максимума по формуле

График АЧХ, построенный по четырем расчетным точкам представлен на рисунке 3.

Рисунок 3

Из графика видно, что максимум АЧХ приблизительно находится на частоте . Фильтр является полосовым, полоса пропускания которого сдвинута в сторону высоких частот.

Для того, чтобы представить график АЧХ в нормированном виде, необходимо определить нормирующий множитель и умножить его на числитель передаточной функции .

Нормирующий множитель определяется по формуле

.

Тогда передаточная функция нормированного фильтра будет равна

.

Произведем расчет трех значений АЧХ нормированного фильтра на нормированных частотах: .

.

На рисунке 4 представлен график АЧХ нормированного фильтра, построенного для диапазона частот [ 0, 1 ].

Рисунок 4

Как видно из рисунка 4, для полного описания АЧХ достаточно задать ее в основной полосе частот [ 0, 0,5 ].