3. Объединение множеств и его свойства.

Объединением множества называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В. Обозначают А В. Если изобразить при помощи кругов Эйлера-Венна, то объединением данных множеств является заштрихованная область. Для объединения множеств выполняются следующие свойства:

1. А U В=В U А; коммутативное св-во или переместительное;

2. (А U В) U C= A U (B U C)-ассоциативное св-во или сочетательное;

3. А U = A пустое множество является нейтральным элементом.

4. A U = U универсальное мн-во является поглощающим элементом.

5. Если В А, то А B = A

4. Дистрибутивные законы, связывающие объединение и пересечение. Иллюстрация, док-во рассуждением и таблицей.

Законы дистрибутивности по-другому можно назвать распределительными свойствами. 1) (А В) ∩ С= (А∩С) (В∩С) – дистрибутивный закон пересечения относительно объединения; 2) (А∩В) С=(А С) ∩(В С) – объединения относительно пересечения.

Доказательство свойств на основе определения. Докажем второе свойство:

Пусть х левой части, т.е. х (А∩В)UС х А∩В или х С х А и х В или х С (х А или х С) и (х В или х С) х А U С и х В U С х (АUC) ∩ (ВUС). Т.е. х правой части. Левая часть прав. часть.

Х правой части, т.е. х (АUC) ∩ (BUC) х АUC и BUC (х А или х С) и (х В или х С) х А и х В или х С х (А∩В) U С, х лев.части. Прав.часть. лев. часть. Левая часть=правая часть.

Будем считать, что если элемент принадлежит множеству А, то в таблице будем обозначать 1, не принадл. – нулем. Тогда определение пересечения двух множеств будет выглядеть так:

А	В	А∩В
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

А	В	АUВ
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

На основании этих таблиц докажем закон:

А	В	С	АUВ	(АUВ) ∩С	А∩С	В∩С	(А∩С)U(В∩С)
1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	0	0	0	0
1	0	1	1	1	1	0	1
1	0	0	1	0	0	0	0
0	1	1	1	1	0	1	1
0	1	0	1	0	0	0	0
0	0	1	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0

В пятом и восьмом столбиках значения формул совпали. Значит равенство справедливо.