33. Плоскость в пространстве, все виды уравнений и переход от одного к другому.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно данному

вектору.

Пусть плоскость задана точкой M₀(x₀;y₀;z₀) и вектором ,перпендикулярной этой плоскости.

Возьмем произвольную точку M(x;y;z) и составим вектор . При любом расположении точки М на плоскости Q , поэтому .

Общее уравнение плоскости.

· Если D=0, то данному уравнению удовлетворяет точка О (0;0;0)

· Если С=0 то вектор . Следовательно, плоскость параллельна оси oz, если В=0 – то oy, если А=0 – то ox.

· Если C=D=0, то плоскость проходит через О (0;0;0), параллельно оси oz. Аналогично при A=D=0 и B=D=0.

· Если А=В=0 то уравнение примет вид плоскость параллельна плоскости Oxy.

· Если A=B=D=0, то уравнение имеет вид . Это уравнение плоскости Oxy.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

К (х₁;у₁) М (х₂;у₂) N (x₃;y₃)

Возьмем на плоскости точку P (x;y;z).

Составим векторы:

Эти векторы лежат в одной плоскости, следовательно они компланарны:

Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть плоскость отсекает на осях отрезки, т.е. проходит через точки:

; ;

Нормальное уравнение плоскости.

xcosα + ycosβ + zcosγ– p = 0 p – расстояние от прямой до начала координат, cosα, cosβ, cosγ - направляющие косинусы

34. Плоскость в пространстве. Основные задачи.

Угол между плоскостями

Условие перпендикулярности плоскостей:

Условие параллельности плоскостей:

Расстояние от точки до плоскости:

35. Прямая в пространстве, все виды уравнений и переход от одного к другому. Основные задачи.

Векторное уравнение прямой.

Положение прямой можно задать по точке и нормальному вектору.

Пусть прямая L задана ее точкой M₀(x₀;y₀;z₀) и нормальным вектором N. Возьмем на прямой L точку M(x;y;z). Обозначим радиус-векторы точек M и M₀ через r и r₀.

(r-r₀)N = 0

Параметрическое уравнение прямой.

Канонические уравнения прямой.

S(m;n;p) – направляющий вектор прямой L. M₀(x₀;y₀;z₀) – точка на прямой.

соединяет M₀ с произвольной точкой М.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

M₁(x₁;y₁;z₁) M₂(x₂;y₂;z₂)

В качестве направляющего вектора можно задать вектор

Следовательно:

, тогда

Общее уравнение прямой.

Уравнение прямой как линию пересечения двух плоскостей. Рассмотрим:

Т.к. прямая перпендикулярна векторам n₁ и n₂ то направляющий вектор запишется как векторное произведение:

результат можно подставить в каноническое уравнение

Угол между прямыми ;

cosϴ = (A₁A₂+B₁B₂)/sqrt(A₁²+B₁²)*sqrt(A₂²+B₂²)

Условие перпендикулярности: k1k2 = -1

Условие параллельности: k1=k2

Две прямые лежат в одной плоскости:

36. Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи.

Угол между прямой и плоскостью:

Условие параллельности прямой и плоскости:

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

Условие принадлежности прямой к плоскости Ax+By+Cz=0: