17 Одношаговые методы решения оду.

Предназначены для решения ДУ 1^ого порядка y’=f(x,y), где y’ – производная, заданная при нач. усл. y(x₀)=y₀.

Методы позволяют находить последовательные значения зависимой переменной y соответствующие дискретным значениям независимой переменной X.

Одношаговые методы-методы, в которых для нахождения следующей точки кривой y=f(x) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге

Виды погрешностей:

-погрешность округления, которая связана с ограничениями на представление чисел в конкретной ЭВМ

-погрешность усечения, которая связана с тем, что для аппроксимации функции вместо бесконечных рядов часто используются только их первые члены

-погрешность распространения, которая является результатом накопления погрешностей, появившихся на предыдущих этапах счета

Виды ошибок:

-локальная ошибка-сумма погрешностей, вносимых в вычислительный процесс на каждом шаге вычислений

-глобальная ошибка-разность между вычисленным и точным значениями величины на каждом этапе реализации численного алгоритма, определяющая суммарную ошибку, накопившуюся с момента начала вычислений

Метод Эйлера.

y’=f(x,y), где y’=dy/dx при н.у. y(x₀)=y₀

y(x₀+h)=y(x₀)+h*y’(x₀)+h²*y’’(x₀)/2+...

y(x₀+h)=y(x₀)+h*y’(x₀)

y_n+1=y_n+h*f(x_n;y_n); n=0,1,2..

Этот метод решения основан на разложении ф-ии в ряд Тейлора в окрестности точки x₀, при этом члены, содержащие h² и более, отбрасываются. Каждое последующее значение “y” находится, используя правые части заданного ДУ. Метод 1^ого порядка, ошибка имеет порядок h² (т.к. отбрасываем h² и более).

18 Одношаговые методы решения оду.

Предназначены для решения ДУ 1^ого порядка y’=f(x,y), где y’ – производная, заданная при нач. усл. y(x₀)=y₀.

Методы позволяют находить последовательные значения зависимой переменной y соответствующие дискретным значениям независимой переменной X.

Модифицированный метод Эйлера.

Тангенс угла наклона касательной предыдущей и последующей точки не одинаковы, т.е. в вычисления на шаге h вносится погрешность. Точность метода можно существенно повысить, используя среднее значение наклона касательной в нач. и конечной точке интервала h. Это и есть смысл модифицированного метода Эйлера.

В модифицированном методе Эйлера сначала оред-ся знач.ф-ии в след. точке по методу Эйлера, т.е. вычисляется y*_n+1= y_n+h*f(x_n; y_n), которое используется для вычисления приближённого значения производной в конце интервала, т.е. f(x_n+1; y*_n+1). Затем вычисляется среднее знач. между вычисленным значением производной в конце интервала и её значением в начале интервала. Таким образом получаем более точное значение y_n+1.

y_n+1= y_n+h/2(f(x_n; y_n)+f(x_n+1; y*_n+1), n=0,1,2…

y(x₀+h)=y(x₀)+h*y’(x₀)+h²/2*y’’(x₀)+...

y’’(x₀)=Δy’(x₀)/Δx=[y’(x₀+h)-y’(x₀)]/[(x₀+h)-x₀]

Это метод 2^ого порядка. Ошибка метода пропорциональна h³.

19 Одношаговые методы решения оду.

Предназначены для решения ДУ 1^ого порядка y’=f(x,y), где y’ – производная, заданная при нач. усл. y(x₀)=y₀.

Методы позволяют находить последовательные значения зависимой переменной y соответствующие дискретным значениям независимой переменной X.

Метод Рунге-Кутта 4 порядка.

Для того чтобы повысить точность необходимо сохранить при разложении в ряд Тейлора большое кол-во членов ряда. Чем выше порядок вычисляемой производной, тем больше дополнительных вычислений внутри интервала h. Методы Рунеге-Кутта дают набор формул для расчета координат внутренних точек интервала h. Наиболее распр. явл. метод Рунге-Кутта 4^ого порядка, т.е. сохраняем в разложении члены ряда до h⁴ включительно, ошибка метода при этом h⁵. Метод обладает более высокой точностью, позволяя увеличивать длину шага h. Величину h следует выбирать исходя из допустимой ошибке на шаге.

ситема:

y_n+1= y_n+(k₀+2k₁+2k₂+k₃)/6, n=0,1,2…

k₀=h*f(x_n;y_n);

k₁=h*f(x_n+h/2;y_n+k₀/2);

k₂=h*f(x_n+h/2;y_n+k₁/2);

k₃=h*f(x_n+h;y_n+k₂);

20 Общая характеристика одношаговых методов решения ОДУ.

Для всех одношаговых методов хар-но:

1)Св-во самостартования, т.е. для получения инф-ции о следующей точке, нужна инф-ция, только об одной предыдущей точке. Это св-во позволяет легко менять величину шага h.

2)В основу всех методов положено разложение ф-ии в ряд Тейлора. В разложении сохр-ся члены ряда, содержащие h до степени k включительно. При этом число k наз. порядком метода, погрешность на шаге имеет порядок (k+1).

3)Методы не требуют вычисления производной. Вычисляется сама ф-ия. Однако могут потребоваться её значения в нескольких точках интервала.

Метод Рунге-Кутта для системы дифференциальных уравнений.

Поскольку в мат модели может присутствовать не только 1^ая производная, но и более высокие, необходимо преобразовать ДУ n^ого порядка в СДУ 1^ого, при этом кол-во ур-ий будет n. После этого преобразования можно применить ф-лы Р-К 4 для каждого из полученных ур-ий.

Например для ДУ 2^ого порядка.

d²y/dx²=g(x,y,dy/dx); dy/dx=z |=> dz/dx=d²y/dx²;

система: dz/dx=g(x,y,z)=z’; dy/dx=f(x,y,z)=z=y’

н.у. y(x₀)=y₀; z(x₀)=z₀

y_n+1=y_n+k; z_n+1=z_n+L, где k=(k₀+2k₁+2k₂+k₃)/6; L=(L₀+Lk₁+Lk₂+L₃)/6;

k₁=h*f(x_n;y_n,z_n);

k₂=h*f(x_n+h/2;y_n+k₁/2;z_n+L₁/2);

k₃=h*f(x_n+h/2;y_n+k₂/2;z_n+L₂/2);

k₄=h*f(x_n+h;y_n+k₃;z_n+L₃), где

L₁=h*g(x_n;y_n,z_n);

L₂=h*g(x_n+h/2;y_n+k₁/2;z_n+L₁/2);

L₃=h*g(x_n+h/2;y_n+k₂/2;z_n+L₂/2);

L₄=h*g(x_n+h;y_n+k₃;z_n+L₃).