3)Взаимное расположение прямых в пространстве.

Пересекающиеся прямые: лежат в одной плоскости, имеют одну общую точку.	Параллельные прямые: лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)	Скрещивающиеся прямые: не лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)

4)Взаимное положение прямых и плоскостей в пространстве.

А)I.Прямые пересекаются, тогда они лежат в одной плоскости.

II.Прямые параллельны - тогда они лежат в одной плоскости(совпадают)

I II.Прямые не пересекаются и не пераллельны – такие прямые называются скрещивающими(ребра куба)

а в

 

b

а1

а2

В)I.Прямая лежит в плоскости

II. Прямая и плоскость имеют одну общую точку, в которой они пересекаются.

I II. Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки – в этом случае они называются параллельными.

Плоскости.

I. Плоскости совпадают

II. Две плоскости не имеют общих точек – в этом случае они называются параллельными.

III. Две плоскости могут пересекаться о прямой – в этом случае не имеют других общих точек вне этой прямой

10. Параллельность прямых и плоскостей. Угол между прямыми. Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

ДОДЕЛАТЬ С НАЧАЛА!)

Прямая и плоскость – называются параллельными если они не пересекаются

Угол между параллельными илисовпадающими прямыми считается равным нулю.
Углом между пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых.
Углом между скрещивающимися прямыми  называется угол между пересекающимися  прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся.
Две прямые называютсяперпендикулярными(ортогональными), если угол между ними прямой.
Угол между двумя прямыми находится в пределах от 0° до 90°.  0° < z. (a, b) < 90°

Определение Прямая, пересекающая плоскость, называетсяперпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.

Теорема 1 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Теорема 2 1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.  Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Теорема 3 2-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.  Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

ОСТАЛЬНОЕ В ЗАКЛАДКАХ!

10. Перестановки. Размещения.Сочетания.

Размещения, перестановки, сочетания

1)Размещениями множества из   различных элементов по   элементов   называются комбинации, которые составлены из данных   элементов по   элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Число всех размещений множества из   элементов по   элементов обозначается через   (от начальной буквы французского слова “arrangement”, что означает размещение), где   и  .

Пример. Сколькими цветов можно использовать для флага.

2)Перестановкой множества из   элементов называется расположение элементов в определенном порядке.

Так, все различные перестановки множества из трех элементов   — это

Очевидно, перестановки можно считать частным случаем размещений при  .

Число всех перестановок из   элементов обозначается  . Следовательно, число всех различных перестановок вычисляется по формуле

Пример. Сколькими способами можно рассавить 8 фигур на шах. Доске

Пример: Для случая А, В, С число всех перестановок 3! = 6. Перестановки: АВС, АСВ, ВАС, ВСА, САВ, СВА

3)Сочетаниями из   различных элементов по   элементов называются комбинации, которые составлены из данных  элементов по   элементов и отличаются хотя бы одним элементом (иначе говоря,  -элементные подмножества данного множества из   элементов).В сочетаниях в отличие от размещений не учитывается порядок элементов. Число всех сочетаний из   элементов по  элементов в каждом обозначается   

Числа 

Все сочетания из множества   по два —

10. Правила комбинаторики. Формула бинома Ньютона.

Общие правила комбинаторики.

Кортеж - конечная последовательность (допускающая повторения) элементов какого-нибудь множества.

*)Правило суммы: пусть имеется n попарно непересекающихся множеств A₁, A₂, …, A_n , содержащих m₁, m₂, …, m_n элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать один элемент из всех этих множеств, равно m₁ + m₂ + … + m_n.

Пример. Если на первой полке стоит X книг, а на второй Y, то выбрать книгу с первой или второй полки, можно X+Y способами.

*)Правило произведения: пусть имеется n множеств A₁, A₂, …, A_n содержащих m₁, m₂, …, m_n элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждого множества, т. е. построить кортеж (а₁, а₂, ..., а_n), где а_i Î А _i1 (i = 1, 2, …, n), равно m₁ · m₂ · … · m_n.

Пример. Если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10=50 способами.

Выборки. Если из множества предметов выбирается некоторое подмножество, то его называют выборкой. Выборки бывают упорядоченные инеупорядоченные.

В упорядоченной выборке существенен порядок, в котором следуют ее элементы, другими словами, изменив порядок элементов, мы получим другую выборку.

Пример. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 можно составить следующие трехзначные числа 123, 431, 524, ...и т.д. Это упорядоченные трехэлементные выборки, так как 123 и 132 - разные числа.

*)Размещениями из n элементов по m элементов (m < n) называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Число размещений без повторений из n по m (n различных элементов) вычисляется по формуле:

Размещениями с повторениями из n элементов по m называются упорядоченные m-элементные выборки, в которых элементы могут повторяться.

Число размещений с повторениями вычисляется по формуле:

Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Решение. Получатся следующие наборы: БА, БР, АР, АБ, РБ, РА. По формуле получаем:   наборов.  Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АБ, АР, РР, РБ, РА

По формуле получаем:   наборов.

*)Перестановками из n элементов называются размещения из этих n элементов по n (Перестановки - частный случай размещений).

Число перестановок без повторений (n различных элементов) вычисляется по формуле:

Число перестановок c повторениями (k различных элементов, где элементы могут повторяться m₁, m₂, …, m_k раз и m₁ + m₂ +… + m_k = n, где n - общее количество элементов) вычисляется по формуле:

Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Решение. Получатся наборы: БАР, БРА, АРБ, АБР, РАБ, РБА. По формуле получаем:   наборов.  Получатся наборы: БАРА, БРАА, БААР, ААРБ, ААБР, АБАР, АРАБ, АРБА, АБРА, РАБА, РААБ, РБАА.

По формуле получаем:   наборов.

*)Сочетаниями из n элементов по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые различаются хотя бы одним элементом (отличие сочетаний от размещений в том, что в сочетаниях не учитывается порядок элементов).

Число сочетаний без повторений (n различных элементов, взятых по m) вычисляется по формуле:C^m_n=

Число сочетаний c повторениями (n элементов, взятых по m, где элементы в наборе могут повторяться) вычисляется по формуле:

Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие сочетания из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получится, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) можно брать по два одинаковые буквы.

Решение. Получатся наборы: БА (БА и АБ - один и тот же набор), АР и РБ По формуле получаем:  наборов. Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АР, РР. По формуле получаем:  наборов.

2)Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая видгде   — биномиальные коэффициенты,   — неотрицательное целое число.

Формула бинома Ньютона 

10. Декартова система координат на плоскости. Векторы на плоскости. Связь между координатами и векторами.