8. Минор и алгебраическое дополнение элемента квадратной матрицы. Теорема Лапласа.

Минором матрицы A n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А, вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы А n-го порядка, называется его минор взятый со знаком .

.

Теорема Лапласа – определитель квадратной матрицы n-го порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) матрицы на их алгебраические дополнения.

9. Свойства определителя матрицы.

1. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

2. При транспонировании матрицы её определитель не изменяется.

3. При перестановке 2 строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак.

4. При умножении элементов строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число.

5. Определитель матрицы, имеющий нулевую строку (столбец) равен 0.

6. Определитель матрицы, имеющий две одинаковые строки (столбца) равен 0.

7. Определитель не изменяется если к элементам строки (столбца) матрицы, прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на число.

10. Обратная матрица.

Матрица называется обратной к матрице А, если .

Матрица для которой существует обратная матрица, называется обратимой. Из определения следует, что обратимой может быть только квадратной, так как равенство , возможно лишь для квадратных матриц одинакового порядка, однако не каждая квадратная матрица обратима.

Матрица обратима тогда и только, когда она невыраждена.

Необходимым условием существования матрицы обратимой к матрице А, является выполнение условия .

Свойства обратной матрицы:

1.

2.

3.

11. Алгоритм нахождения обратной матрицы, при помощи алгебраических дополнений.

Необходимо использовать формулу:

– алгебраические дополнения .

1. Находим определитель матрицы А, если определитель не равен 0, значит обратная матрица существует.

2. Вычисляем алгебраические дополнения.

3. Из полученных алгебраических дополнений составляем новую матрицу.

4. Транспонируем полученную матрицу и умножаем на .

12. Алгоритм нахождения обратной матрицы, при помощи элементарных преобразований.

Для нахождения обратной матрицы, при помощи алгебраических дополнений, находим определитель, далее матрице А приписывается единичная матрица Е. Матрица А приводится к единичной матрице Е. После преобразований, на месте приписанной справа единичной матрицы будет находится обратная матрица.

и выписываем обратную матрицу.

13. Матричные уравнения. Виды матричных уравнений и их решение.

Уравнения, в которых неизвестной является некоторая матрица, называются матричными. Эти уравнения имеют единственное решение, только если А не вырожденная матрица и определена операция умножения.

Три вида матричных уравнений:

1. , где АB – заданные матрицы, Х – неизвестная матрица.

Решением данного уравнения, будет:

2.

Решением данного уравнения будет:

3. , где А и В не выражденные матрицы, обе его части умножаются на слева, и на справа.

Решением данного уравнения будет: .