7 Билет

Представление числовой информации в ЭВМ

Память компьютера, отводимую для хранения числа или другого элемента данных в числовом коде, удобно описать моделью разрядной сетки — массива (линейной таблицы) b-ичных разрядов, имеющего постоянные размер k и формат, определяющий смысл отдельных разрядов.

Размер разрядной сетки обычно равен или кратен размеру машинного слова и размеру минимальной порции данных, обрабатываемой одной командой процессора. Эти константы определяются архитектурой процессора и количеством разрядов, которые могут передаваться одновременно от процессора к памяти или обратно по шине данных. В большинстве компьютеров эти единицы кратны 1 байту.

Формат разрядной сетки и правила выполнения арифметических операций определяются архитектурой процессора. Современные процессоры умеют работать с разрядными сетками, различающимися по размеру и формату. В языках программирования манипулирование числами разного формата реализуется через различные числовые типы данных.

Представление целых со знаком

Модель знаковых целых описывает представление целочисленного диапазона [N_min .. N_max] в сетке разрядности k.

Старший разряд кодирует знак числа. В остальных k – 1 разрядах хранятся младшие значащие цифры числа, остальные отсекаются, как и при беззнаковом кодировании.

При таком кодировании N_min = –N_max.

Хранение числа в виде знака и модуля на практике оказывается неудобным:

• ноль имеет двойное представление (со знаком и без), из-за чего представимый диапазон сужается на единицу,

• по-разному реализуются операции сложения и вычитания.

Поэтому на практике применяют другой способ кодирования —дополнительный код.

8 Билет

Конечное представление действительных чисел

Любой действительный интервал содержит бесконечное множество чисел. Для представления в конечной памяти применяется дискретизация интервала: разбиение его на достаточно малые подынтервалы, в каждом из которых все числа сводятся к одному и тому же числу-представителю, становясь, таким образом, неразличимыми.

Ширина сводимого интервала определяет максимальную погрешность представления — отклонение значения истинного числа от значения его представления.

Арифметика погрешностей

Погрешности, возникающие при представлении действительных чисел, растут при любых арифметических операциях над ними, как видно из следующих формул:

Пусть |x – x`| £ e<sub>1</sub>, |y – y`| £ e₂,

Т огда

(x*y-x’*y’) ≤min(|x|,|x’|) - €2+min(|y|,|y’|)*€1+€1*€2.

Растущая недостоверность вычислений с действительными числами приводит к необходимости предварительного анализа расчетных формул с оценкой максимальной погрешности, а также специальной организации вычислений, минимизирующей ее.

Например, вычисление выражения (а + b)* (с + d) дает меньшую

погрешность при раскрытии скобок,

а выражения (а/b)*(c/d) — при перегруппировке в одну дробь.

9 Билет

10 Билет

Модель Чисел

Числа

1)Целые 2) Вещественные

1.1)Беззнаковые 2.1) С фиксированной точкой

1.2) Знаковые 2.2) С плавающей точкой

Модель беззнаковых целых описывает представление неотрицательного целочисленного диапазона [0 .. N_max] в сетке разрядности k. В записи числа допускаются только k разрядов целой части; цифры, возникающие в результате операций в прочих разрядах, отсекаются. Более короткие числа дописываются нулями слева.

Модель знаковых целых описывает представление целочисленного диапазона [N_min .. N_max] в сетке разрядности k.

Старший разряд кодирует знак числа. В остальных k – 1 разрядах хранятся младшие значащие цифры числа, остальные отсекаются, как и при беззнаковом кодировании.

При таком кодировании N_min = –N_max.

Хранение числа в виде знака и модуля на практике оказывается неудобным:

ноль имеет двойное представление (со знаком и без), из-за чего представимый диапазон сужается на единицу,

по-разному реализуются операции сложения и вычитания.

Формулы для максимальных и минимальных беззнаковых чисел в разрядной сетке

Максимальное число в k-разрядной сетке в b-ичной системе счисления:

N_max (k, b) = b^k – 1

«Следующим» числом за максимальным будет минимальное число 0.