1. Решение системы линейных уравнений матричным методом

Еще один, пользующийся большой популярностью метод. Этот способ или, как его еще называют, метод обратной матрицы называется так потому, что все решение сводится к простому матричному уравнению, для решения которого необходимо найти обратную матрицу. Для того, что бы расставить все точки над и, рассмотрим метод под микроскопом.

Алгоритм решения достаточно просто. Как и в методах Гаусса и Крамера первоначально надо проверить, имеет ли система уравнений решение по теореме Кронекера-Копелли. Затем для решения матричным методом необходимо ввести в рассмотрение матрицы-столбцы для неизвестных X и свободных членов B. Тогда систему линейных уравнений можно записать в матричной форме AX=B. Умножив это матричное уравнение на A^-1, получим A^-1AX= A^-1B, откуда EX=X=A^-1B. Следовательно, матрица-решение X легко находится как произведение A^-1 и B.

Для большей ясности решим небольшой пример методом обратной матрицы:

21x₁-45x₂-3.5x₃=10

12x₁-16x₂+21x₃=-16

14x₁+13x₂-8x₃=10

Определим совместность системы уравнений. По теореме Кронекера-Копелли для того, что бы система линейных алгебраических уравнений была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы

 

A=	21 -45 3.5 12 -16 21 14 13 -8

 

и ранг расширенной матрицы

B=	21 -45 3.5 10 12 -16 21 -19 14 13 -8 10

 

были равны. Так как rang|A|=3 равен rang|B|=3 и равен количеству неизвестных n=3, то система имеет единственное решение.

Для решения методом обратной матрицы необходимо ввести матричные обозначения

 

A=

21 -45 3.5 12 -16 21 14 13 -8

X=

X1 X2 X3

C=

10 -19 10

, то X=A-1C

 

Найдем обратную матрицу A^-1. Как ее найти, показывать не будем. Воспользовавшись нашии онлайн калькулятором, вы сможете выбрать один из двух способов для ее нахождения. Она будет иметь вид.

 

A-1=	0.008 0.016 0.046 -0.02 0.011 0.021 -0.02 0.047 -0.011

 

Для нахождения матрицы X умножим обратную матрицу А^-1 на матрицу С

0.008 0.016 0.046 -0.02 0.011 0.021 -0.02 0.047 -0.011

10 -19 10

=

0.227 -0.209 -1.194

 

Получили решение системы уравнений X₁=0.227  X₂=-0.209  X₃=-1.194

Правило Крамера.

Рассмотрим систему (2.3). Назовем главным определителем этой системы определитель , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:

.

Предположим сначала, что Умножим каждое уравнение системы (2.3) на алгебраические дополнения элементов j-го столбца

Сложив затем все уравнения, получим:

. (2.5)

Отметим, что .

(j-й столбец)

(Результат получен из разложения определителя по j-му столбцу). Такой определитель равен 0 при и равен при i = j. Правая часть равенства (2.5) представляет собой определитель , в котором вместо j-го столбца стоит столбец свободных членов системы (2.3). Назовем такой определитель . Рассматривая j = 1,2,…,n, получим систему, эквивалентную исходной: (2.6) . Разделив все уравнения на , найдем единственное решение: .

Предположим теперь, что =0. Тогда система (2.6) примет вид: .

В этом случае, если все =0, система выглядит так: и имеет бесконечно много решений. Если же хотя бы один из система решений не имеет.

Таким образом, правило Крамера позволяет найти единственное решение системы (2.3) или сделать вывод о существовании бесконечного числа решений либо об их отсутствии: