§ 15. Числовые характеристики нсв

Пусть непрерывная случайная величина задана плотностью распределения . Тогда аналогично ДСВ для НСВ могут быть определены числовые характеристики.

О.1. Математическим ожиданием НСВ , возможные значения которой принадлежат всей оси , называют определенный интеграл:

.

O.2. Дисперсией НСВ , возможные значения которой принадлежат всей оси , называется значение интеграла

.

Замечание 1. Свойства математического ожидания и дисперсии ДСВ сохраняются и для НСВ.

Замечание 2. На практике для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой: .

O.3. Средним квадратическим отклонением НСВ называется корень квадратный из дисперсии, т.е.

.

О.4. Модой НСВ называется такое значение этой величины, плотность вероятности которого максимальна.

O.5. Медианой НСВ называется такое значение этой величины, что выполняется равенство:

.

Пример 1. НСВ задана плотностью распределения вероятностей в интервале . Вне этого интервала . Найти все числовые характеристики НСВ .

Решение:

;

;

;

;

Т. к. кривая распределения – парабола симметричная относительно

прямой , то .

§ 16. Законы распределения нсв

Плотности распределения НСВ называют также законами распределения. Часто встречаются законы равномерного, нормального и показательного распределений.

1. Равномерное распределение

О.1. Закон распределения НСВ называется равномерным, если ее плотность распределения задается в виде:

Свойства равномерного распределения

1. Зная плотность распределения, и используя формулу ,

можно найти функцию распределения:

2. Если НСВ имеет равномерное распределение, то ее числовые характеристики могут быть найдены по формулам:

.

3. Вероятность попадания равномерно-распределенной НСВ в интервал можно определить по формуле:

.

Пример 1. Автобусы подходят к остановке с интервалом в 5 минут. Считая, что НСВ - время ожидания автобуса - распределена равномерно, найти среднее время ожидания (математическое ожидание), среднее квадратическое отклонение. Какова вероятность того, случайно подошедший на остановку пассажир будет ожидать автобус не более 4 минут, но и не менее 2 минут.

Решение:

;

.

2. Показательное распределение

О.1. Закон распределения НСВ называется показательным, если ее плотность распределения задается в виде:

,

где - параметр показательного распределения.

Свойства показательного распределения:

1. Зная плотность распределения и используя формулу ,

можно найти функцию распределения:

2. Если НСВ имеет показательное распределение, то ее числовые характеристики могут быть найдены по формулам:

.

3. Вероятность попадания показательно-распределенной НСВ в интервал определяется по формуле:

,

где значения определяются по таблице.

Пример 2. Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону с параметром (интенсивность отказов). Найти среднее время безотказной работы элемента, среднее квадратическое отклонение. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно не менее 4 лет, но не более 10.

Решение:

;

.