Представления булевых алгебр

Можно доказать, что любая конечная булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех подмножеств какого-то множества. Отсюда следует, что количество элементов в любой конечной булевой алгебре будет степенью двойки.

Знаменитая теорема Стоуна утверждает, что любая булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех открыто-замкнутых множеств какого-то компактного вполне несвязногохаусдорфова топологического пространства.

Аксиоматизация

В 1933 г. американский математик Хантингтон предложил следующую аксиоматизацию для булевых алгебр:

1. Аксиома коммутативности: x + y = y + x.

2. Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z).

3. Уравнение Хантингтона: n(n(x) + y) + n(n(x) + n(y)) = x.

Здесь использованы обозначения Хантингтона: + означает дизъюнкцию, n — отрицание.

Герберт Роббинс поставил следующий вопрос: можно ли сократить последнюю аксиому так, как написано ниже, то есть будет ли определённая выписанными ниже аксиомами структура булевой алгеброй?

Аксиоматизация алгебры Роббинса:

1. Аксиома коммутативности: x + y = y + x.

2. Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z).

3. Уравнение Роббинса: n(n(x + y') + n(x + n(y))) = x.

Этот вопрос оставался открытым с 30-х годов и был любимым вопросом Тарского и его учеников.

В 1996 г. Вильям МакКьюн, используя некоторые полученные до него результаты, дал утвердительный ответ на этот вопрос. Таким образом, любая алгебра Роббинса является булевой алгеброй.

Пример

• Самая простая нетривиальная булева алгебра содержит всего два элемента, 0 и 1, а действия в ней определяются следующей таблицей:

∧	0	1		∨	0	1		a	0	1
0	0	0		0	0	1		¬a	1	0
1	0	1		1	1	1		a	0	1

• Эта булева алгебра наиболее часто используется в логике, так как является точной моделью классического исчисления высказываний. В этом случае 0 называют ложью, 1 — истиной. Выражения, содержащие булевы операции и переменные, представляют собой высказывательные формы.

• Алгебра Линденбаума — Тарского (фактормножество всех утверждений по отношению равносильности в данном исчислении с соответствующими операциями) какого-либо исчисления высказываний является булевой алгеброй. В этом случае истинностная оценка формул исчисления является гомоморфизмом алгебры Линденбаума — Тарского в двухэлементную булеву алгебру.

• Множество всех подмножеств данного множества S образует булеву алгебру относительно операций ∨ := ∪ (объединение), ∧ := ∩ (пересечение) и унарной операции дополнения. Наименьший элемент здесь — пустое множество, а наибольший — всё S.

• Если R — произвольное кольцо, то на нём можно определить множество центральных идемпотентов так: A = { e ∈ R : e² = e, ex = xe, ∀x ∈ R }, тогда множество A будет булевой алгеброй с операциями e ∨ f := e + f − ef и e ∧ f := ef.