Методические указания к решению заданий контрольной работы №2

ЗАДАНИЕ 1. Найти неопределенный интеграл. В пункте а) результат проверить дифференцированием.

Решение. а) .

 

Проверка:

 

б) .

Найдём данный интеграл, используя формулу интегрирования по частям

=

= 

в) .

=

ЗАДАНИЕ 2. Вычислить:

а) определенный интеграл;

б) несобственный интеграл или доказать его расходимость;

в) интеграл с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей (вычисления проводить с округлением до третьего десятичного знака).

Решение. а) .

Выделим в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат:

х²+4х+13 = х²+4х+4+9 = (х+2)² + 3.

Тогда

б) .

является несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования, поэтому

=

=  = 

= [если А → ∞, то → 0] =  .

в) .

Формула Симпсона имеет вид

    (y₀ + 4(y₁ + y₃ + … + y_2п–1) + 2(y₂ + y₄ + … + y_2п–2) + y_2п),

где h =  ; х_k = a + kh; y_k = f (x_k) (k = 0, 1, … , 2n).

Составим таблицу значений подынтегральной функции, необходимых для вычисления данного интеграла.

Таблица 7

k	xk	xk3	y0, y2n	yk (k – четное)	yk (k – нечетное)
0	0	0	y0 = 1
1	0,1	0,001		y1 = 0,999
2	0,2	0,008			y2 = 0,992
3	0,3	0,027		y3 = 0,974
4	0,4	0,064			y4 = 0,939
5	0,5	0,125		y5 = 0,889
6	0,6	0,216			y6 = 0,822
7	0,7	0,343		y7 = 0,745
8	0,8	0,512			y8 = 0,661
9	0,9	0,729		y9 = 0,578
10	1	1	y10 = 0,5
Σ			1,5	4,185	3,414

Так как h =   = 0,1, 4(y₁ + y₃ + … + y_2п–1) = 4 · 4,185 = 16,74,

2(y₂ + y₄ + … + y_2п–2) = 2 · 3,414 = 6,828, то по формуле Симпсона находим

    (y₀ + 4(y₁ + y₃ + y₅ + y₇ + y₉) + 2(y₂ + y₄ + y₆ + y₈) + y₁₀) = 

=  (1 + 16,74 + 6,828 + 0,5) = 0,8356.

 = 0,8356.

ЗАДАНИЕ 3. Сделать чертёж области интегрирования. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле I =  .

Решение. Зная пределы интегрирования, найдем границы области интегрирования D: у = 0, у = 1, х = 8у³, х = 2у + 6 и построим их. Область D располагается в полосе 0 ≤ у ≤ 1 и ограничена слева кубической параболой х = 8у³, справа – прямой х = 2у + 6 (рисунок 1).

Рисунок 1

Спроектируем область D на ось Ох. Проекцией является отрезок ОВ₁, внутри которого находятся проекция точки А и точка С. Поэтому при изменении порядка интегрирования область D необходимо разбить прямой х = 6 на две часть D₁ и D₂, в каждой из которых любая граница задается только одним уравнением.

Определим теперь новые пределы интегрирования. В области D₁ переменная х изменяется от 0 до 6. Уравнение нижней границы ОС задается уравнением у = 0. Уравнение верхней границы ОА находим, решая уравнение кубической параболы х = 8у³ относительно у: у =  .

В области D₂ переменная х изменяется от 6 до 8. Уравнение нижней границы СВ у =  (разрешили относительно у уравнение прямой х = 2у + 6); уравнение верхней границы АВ: у =  .

Таким образом, двойной интеграл I при изменении порядка интегрирования равен сумме двух интегралов:

I  .

ЗАДАНИЕ 4. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: х² + у² = 9, z = y², z = 0.

Решение. По уравнениям заданных поверхностей изобразим схематично тело. Поверхность х² + у² = 9– цилиндр с образующими параллельными оси Oz; z = y² – параболический цилиндр с образующими параллельными оси Ox; z = 0 –плоскость XOY.

Тело, ограниченное данными поверхностями, представляет собой правильную область V, ограниченную снизу плоскостью z = 0, сверху – поверхностью z = y² (рисунок 2) и проектируется на плоскость ХОУ в плоскую область D, представляющую собой круг, ограниченный окружностью х² + у² = 9 (рисунок 3).

Рисунок 2 Рисунок 3

Объем тела найдем с помощью тройного интеграла по формуле:

.

Так как проекцией тела на плоскость XOY является круг, то для данной области V этот интеграл проще вычисляется в цилиндрических координатах, связанных с декартовыми координатами формулами:

где – полярный радиус,  – полярный угол.

Для данной области V: , .

Следовательно,

ЗАДАНИЕ 5. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка , допускающего понижение порядка.

Решение. Данное уравнение относится к уравнениям вида , не содержащим неизвестную функцию . Понизим его порядок с помощью подстановки у′ = р, где – новая неизвестная функция. Тогда . Подставим в заданное уравнение вместо у′ и у′′ их выражения, получим:

. (1)

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции . Решим это уравнение с помощью подстановки Бернулли , где U =  и V =  – новые неизвестные функции. Тогда .

Подставим выражения для и в уравнение (1), получим:

.

Сгруппируем члены последнего уравнения и приведем его к виду:

. (2)

Так как произведение UV должно удовлетворять исходному уравнению, и одну из неизвестных функций, например V, можно выбрать произвольно, то выберем в качестве любое частное решение V = V(х) уравнения:

V′ +  V = 0.

Тогда

или

. (3)

Дифференциальное уравнение (3) – дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем его:

, + lnC.

Полагая С = 1, получим частное решение в виде

.

Подставим в уравнение (2). Получим:

или ,

,

.

Тогда

или

.

Разделим переменные в полученном уравнении и проинтегрируем его:

.

Найдем общее решение данного уравнения

.

ЗАДАНИЕ 6. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Согласно структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения оно имеет вид

,

где – общее решение соответствующего линейного однородного уравнения, а – некоторое частное решение исходного линейного неоднородного уравнения.

Найдем общее решение однородного уравнения методом Эйлера. В уравнении заменим . Тогда его характеристическое уравнение

имеет два различных вещественных корня:

.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид

.

Найдем частное решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения со специальной правой частью методом неопределенных коэффициентов.

Правая часть уравнения – функция имеет специальный вид, что позволяет установить вид частного решения. Частное решение для такой правой части найдем в виде , где по условию ;  – число корней характеристического уравнения, совпадающих с числом . Так как один из корней характеристического уравнения и совпадает с числом , то и частное решение найдем в виде

.

Подставим предполагаемое решение и его производные

;

в заданное неоднородное дифференциальное уравнение:

Разделим обе части уравнения на и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях соответственно.

Получим

,

,

,

откуда , .

Тогда и общее решение исходного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид

.

Выделим из полученного общего решения исходного неоднородного дифференциального уравнения частное решение, удовлетворяющее начальным условиям . Для этого подставим начальные условия в систему

Будем иметь

Решая систему, найдем . Тогда искомым частным решением является функция

.