§ 2. Симметрия относительно перестановки переменных

При исследовании выражения на «симметрию относительно перестановки переменных» для пары проверяется пара подстановкой в исходное выражение. В некоторых выражениях наблюдается «симметрия» относительно и перестановки переменных и изменения у них знака. В этих случаях для пары проверяются подстановкой в исходное выражение и пары .

При решении уравнений (неравенств, систем уравнений или неравенств) используют следующее утверждение.

Утверждение 4. Если выражение f(x, y) инвариантно относительно преобразования x  y и y  x и уравнение f(x, y)=0 имеет решение (x₀, y₀), то и пара чисел (y₀, x₀,) также решение этого уравнения.

Пример 2.1. Найдите значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.

Решение. Система уравнений симметрична относительно переменных x и y. Следовательно, единственное решение она имеет, если x = y.

Подставим в первое уравнение x = y, получим x² - (2a+1)x +a² - 3 = x, x² - (2a+2)x + a² - 3 = 0, D₁ = (a+1)² - a² + 3 = a² + 2a + 1 - a² +3 = 2a+ 4. Чтобы уравнение имело единственное решение, потребуем D₁ = 0. Тогда 2a+ 4 = 0, a = –2. Проверим единственность решения системы уравнений при данном a. Подставим a = –2, получим x² + 3x + 1 = x,

Система уравнений имеет единственное решение (–1; –1). Ответ: .

Пример 2.2. Определите все значения параметра a, при которых система уравнений

имеет ровно два решения, и при найденных значениях параметра решите систему уравнений.

Решение.

Многочлены и являются симметрическими относительно переменных x, y. Кроме того, инвариантны относительно одновременной смены знака обоих переменных. Поэтому если пара чисел (x₀; y₀) является решением системы, то и пары (y₀; x₀), (–x₀; –y₀) и (–y₀; –x₀) — тоже решения.

Пары (x₀; y₀) и (–x₀; –y₀) различны, т.к. иначе что противоречит второму уравнению исходной системы.

Пары (y₀; x₀) и (–y₀; –x₀) аналогично различны.

Система будет иметь ровно два решения, если пара (x₀; y₀) совпадет с парой (y₀; x₀) или с парой (–y₀; –x₀).

1) Рассмотрим случай, когда (x₀; y₀) совпадает с (–y₀; –x₀), т.е. x₀ = –y₀. Тогда из второго уравнения исходной системы имеем: (x₀ – x₀)² = 12, что неверно.

2) Рассмотрим случай, когда (x₀; y₀) совпадает с (y₀; x₀), т.е. x₀ = y₀. Тогда система примет вид:

Проверим, что при а = 1 система имеет ровно два решения.

Ответ: a = 1; решения системы

Пример 2.3. Найти все значения параметра а, при которых имеет единственное решение система неравенств

Решение.

Система симметрична относительно перестановки переменных х и у, следовательно, если — решение системы, то — тоже решение.

Тогда единственное решение системы неравенств может быть только в случае .

Пусть х = у, тогда система принимает вид

,

Квадратное неравенство должно иметь единственное решение, то есть D = 0.

D = ,

Убедимся, что при a = решение единственное.

Пусть

,

,

— единственное решение при .

Ответ: а = .

Пример 2.4. Найти все значения параметра a, при котором система неравенств имеет единственное решение.

Решение.

Система неравенств инвариантна относительно перестановки переменных x и y. Она имеет единственное решение, если .

Неравенство имеет единственное решение, если

D₁ = , D₁ = 0,

D₁ = Проверим полученные решения. 1) a = 1 + 2 , ,

Сумма двух неотрицательных чисел не может быть меньше нуля, но может быть равна нулю, если они оба равны нулю. Система уравнений имеет единственное решение ( ). 2)

Система уравнений имеет единственное решение Ответ:

Пример 2.5. При каких значениях параметра a система

имеет четыре решения?

Решение.

Пусть = b и = с, тогда система примет вид:

Заметим, что система уравнений симметрична относительно переменных b и с. То есть, если пара является решением системы, то и пара — также решение этой системы. Следовательно, если — решение системы такое, что и b₀ > 0, c₀ > 0, то исходная система будет иметь восемь решений.

Таким образом, исходная система будет иметь четыре решения в следующих двух случаях: b = c; b = 0 или c = 0.

1) Если b = c > 0, то и .

2) Если же b = 0 или с = 0, то a =

Проверкой убеждаемся, что в обоих случаях исходная система имеет по четыре решения.

Ответ: , a =