4.Аффинные преобразования в двухмерном пространстве. Матричная запись.
Аффинные преобразования – либо пропорциональная деформация объекта (сжатие, растяжение, отражение относительно прямой), либо пропорциональный перенос всех точек ( перенос объекта, поворот вокруг начальной точки).
Матричная запись.
В компьютерной графике матрицы используются для описания определённых видов преобразований. Преобразование – функция, при выполнении которой каждой точке какой либо области в пространстве ставит в соответствие точку из другого, или даже того же самого.
На примере преобразования точки.
Точка
на плоскости представляется двумя
координатами |x,y|.
Матрица преобразования точки выглядит
так
Преобразуем точку путём умножения матрицы координат точки |x,y| на матрицу преобразования.
Преобразование фигуры.
Производится аналогично. Составляется матрица, состоящая из координат точек фигуры. Где в первом столбце – координаты Х, а во втором координаты – У.
При этом площадь новой фигуры равна площади старой фигуры умноженной на детерминант матрицы преобразования s1=s2*|ad-bc|.
5.Аффинные преобразования в трехмерном пространстве. Масштабирование, перенос, однородные координаты.
Преобразование переноса и однородная координата
В ходе обработки модели, часто возникает необходимость перенести объект не изменяя его формы и размеров, такое перемещение обычно задается вектором, называемым вектором переноски. Его направление определяет направление переноса, а проекции на координатные оси задают перемещение вдоль этих осей.
Определить такое преобразование с использованием матрицы размером 2*2 невозможно. Преодолеть данную трудность можно с помощью перехода в однородные координаты, точка на плоскости в однородных координатах определяется тройкой [X Y W] где W – масштабирующий коэффициент, X Y – координаты точек, получаемые из декартовых по средствам следующих соотношений.
X = x*W
Y = y*W
По однородным координатам с помощью деления на масштабирующий коэффициент всегда можно найти декартовую координату. Очевидно, что этот коэффициент не должен быть равен нулю. Однородные координаты не обладают однозначностью, т.е. точка [1 3 1], [2 6 2], [3 9 3] - будет одна и та же точка.
Матрица масштабирования (растяжения - сжатия):
a > 0 – коэффициент растяжения (сжатия) вдоль оси абсцисс; b > 0 – коэффициент растяжения (сжатия) вдоль оси ординат; y > 0 – коэффициент растяжения (сжатия) вдоль оси аппликат
6.Аффинные преобразования в трехмерном пространстве. Повороты. Композиция преобразований.
Преобразование поворотов
Если
– поворот 2700,
если
– поворот
,
если
– поворот 1800
Например, чтобы сделать поворот нужно ответить на вопрос:
В какой системе координат определяются координатные векторные – в лево сторонней или право сторонней
Как переделяются положительные и отрицательные повороты
Вращается объект или система координат
Координаты записываются в виде строк или столбцов матрицы
Вокруг какой линии или оси осуществляется поворот
Общепринятыми являются: правосторонняя система координат, объект вращается в неподвижных координатах, положительный поворот определяется правилом правой руки, т.е. поворот по часовой стрелке осуществляется вокруг оси при наблюдении от начала координат вдоль положительной оси и координатные векторы представляются в виде строки матрицы.
[x y z 1] – однородная координата
Композиции преобразований
Последовательные преобразования могут быть скомбинированы или объединены в одно 4*4 преобразование, дающее тот же самый результат, т.к. перемножение матриц является не коммутативной операцией. Правильный порядок определяется положением конкретной матрицы преобразования относительно матрицы координатного вектора. Матрица ближайшая к матрице координатного вектора задает первое преобразование.
Так как перспективные преобразования искажают геометрические объекты, а преобразование проецирование приводит к искажению информацию, тогда они должны быть расположены последними по разряду.
Транспонировать
матрицу:
Перенос X
на 3 единицы вниз:
Поворот вдоль X
на 15 градусов:
Матрица, обратная
этой:
Отражение чтобы отразить относительно оси X.