Результаты решения краевой задачи
Таблица 5.6
Решение краевой задачи
|
|
|||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
1 |
0,0149 |
0.0298 |
0.0446 |
0.0589 |
0.0720 |
0.0828 |
0.0901 |
0.0927 |
2 |
0.0298 |
0.0597 |
0.0896 |
0.1189 |
0.1462 |
0,1692 |
0.1849 |
0.1906 |
3 |
0.0446 |
0.0896 |
0.1353 |
0.1810 |
0.2248 |
0.2629 |
0.2899 |
0.2996 |
4 |
0.0589 |
0.1189 |
0.1810 |
0.2450 |
0.3090 |
0.3678 |
0.4119 |
0.4283 |
5 |
0.0720 |
0.1462 |
0.2248 |
0.3090 |
0.3983 |
0.4876 |
0.5616 |
0.5897 |
6 |
0.0828 |
0.1692 |
0.2629 |
0.3678 |
0.4876 |
0.6225 |
0.7574 |
0.8072 |
7 |
0.0901 |
0.1849 |
0.2899 |
0.4119 |
0.5616 |
0.7574 |
1.0384 |
1.1241 |
8 |
0.0927 |
0.1906 |
0.2996 |
0.4283 |
0.5897 |
0.8072 |
1.1241 |
1.2217 |
9 |
0.0901 |
0.1849 |
0.2899 |
0.4119 |
0.5616 |
0.7574 |
1.0384 |
1.1241 |
10 |
0.0828 |
0.1692 |
0.2629 |
0.3678 |
0.4876 |
0.6225 |
0.7574 |
0.8072 |
11 |
0.0720 |
0.1462 |
0.2248 |
0.3090 |
0.3983 |
0.4876 |
0.5616 |
0.5897 |
12 |
0.0589 |
0.1189 |
0.1810 |
0.2450 |
0.3090 |
0.3678 |
0.4119 |
0.4283 |
13 |
0.0446 |
0.0896 |
0.1353 |
0.1810 |
0.2248 |
0.2629 |
0.2899 |
0.2996 |
14 |
0.0298 |
0.0597 |
0.0896 |
0.1189 |
0.1462 |
0.1692 |
0.1849 |
0.1906 |
15 |
0.0149 |
0.0298 |
0.0446 |
0.0589 |
0.0720 |
0.0828 |
0.0901 |
0.0927 |
|
|
||||||
|
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
1 |
0.0901 |
0.0828 |
0.0720 |
0.0589 |
0.0446 |
0.0298 |
0,0149 |
2 |
0.1849 |
0,1692 |
0.1462 |
0.1189 |
0.0896 |
0.0597 |
0.0298 |
3 |
0.2899 |
0.2629 |
0.2248 |
0.1810 |
0.1353 |
0.0896 |
0.0446 |
4 |
0.4119 |
0.3678 |
0.3090 |
0.2450 |
0.1810 |
0.1189 |
0.0589 |
5 |
0.5616 |
0.4876 |
0.3983 |
0.3090 |
0.2248 |
0.1462 |
0.0720 |
6 |
0.7574 |
0.6225 |
0.4876 |
0.3678 |
0.2629 |
0.1692 |
0.0828 |
7 |
1.0384 |
0.7574 |
0.5616 |
0.4119 |
0.2899 |
0.1849 |
0.0901 |
Продолжение табл. 5.6
|
|||||||
8 |
1.1241 |
0.8072 |
0.5897 |
0.4283 |
0.2996 |
0.1906 |
0.0927 |
9 |
1.0384 |
0.7574 |
0.5616 |
0.4119 |
0.2899 |
0.1849 |
0.0901 |
10 |
0.7574 |
0.6225 |
0.4876 |
0.3678 |
0.2629 |
0.1692 |
0.0828 |
11 |
0.5616 |
0.4876 |
0.3983 |
0.3080 |
0.2248 |
0.1462 |
0.072 |
12 |
0.4119 |
0.3678 |
0.3090 |
0.2450 |
0.1810 |
0.1189 |
0.0589 |
13 |
0.2899 |
0.2629 |
0.2248 |
0.1810 |
0.1353 |
0.0896 |
0.0446 |
14 |
0.1849 |
0,1692 |
0.1462 |
0.1189 |
0.0896 |
0.0597 |
0.0298 |
15 |
0.0901 |
0.0828 |
0.0720 |
0.0589 |
0.0446 |
0.0298 |
0,0149 |
Результат решения краевой задачи конечно-разностным методом совпадает с результатом её решения методом разделения переменных.
При высоких порядках системы алгебраических уравнений их решение прямыми методами требует значительных затрат машинного времени. Для решения подобных систем более рациональными являются итерационные методы, позволяющие упростить процесс решения, уменьшить в занимаемую память, а в ряде случаев сократить время решения.
Простейшим итерационным методом решения систем алгебраических уравнений, аппроксимирующих краевые задачи, является метод Якоби [25]. Для двумерного уравнения (5.29) итерационный процесс записывается в виде
(5.31)
где
-
номер итерации.
Это выражение можно формально записать следующим образом
,
(5.32)
где
=
(5.33)
Большинство итерационных методов можно символически записывать в виде
,
(5.34)
где
произвольно выбранный оператор.
Отсюда
следует, что итерационный процесс можно
рассматривать как разностную схему,
соответствующую нестационарной задаче.
Следовательно, для его реализации могут
быть использованы рассмотренные ранее
методы решения нестационарных краевых
задач. В качестве оператора
можно использовать любой оператор,
позволяющий быстро находить значения
искомой функции
,
и обеспечивающий быстрое затухание
начальных данных. К таким операторам
можно отнести операторы, используемые
при решении нестационарных задач
продольно-поперечным и локально-одномерными
методами.
В отличие от нестационарных краевых задач продольно-поперечные и локально-одномерные схемы реализуются таким образом, чтобы необходимая точность решения достигалась за минимально возможное время.
В качестве примера рассмотрим решение стационарной краевой задачи с использованием продольно-поперечной схемы.
Пусть решается рассмотренная выше (пример № 12) стационарная краевая задача.
Аппроксимируя дифференциальные операторы конечно- разностными выражениями, запишем дифференциальное уравнение в виде
.
(5.35)
Для решения задачи итерационным методом представим записанное уравнение как уравнение нестационарной задачи (5.32)
.
(5.36)
Полученное
уравнение решается методом переменных
направлений с учётом заданных граничных
условий и принимаемых нулевыми начальных
условий. Величина временного интервала
для неявной схемы выбирается максимальной,
обеспечивающей достижение необходимой
точности за минимальное число итераций
(
против 0, 001 при решении нестационарной
задачи в примере 4).
Результаты итерационного процесса представлен в таблице 5.7, где
приведены
значения искомой функции в центре
исследуемой области, а также на рис.
24, где показана зависимость искомого
решения в одной из точек исследуемой
области
от числа итераций
.
Как видно из таблицы, для достижения
необходимой точности (см. примеры №
11, № 12 ) потребовалось 18 итераций, хотя
уже при 5 итерациях относительная
величина погрешности не превышает 0,5%,
при 10 итерациях
0,05%.
Таблица 5.7
Результаты итерационного процесса
для решения краевой задачи
Номер итерации |
1
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Величина искомой функции |
1.1484 |
1.2015 |
1.2063 |
1.2136
|
1.2164
|
1.2184
|
1.2195
|
Номер итерации |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
Величина Искомой функции |
1.2203
|
1.2208 |
1.2211
|
1.2213
|
1.2214
|
1.2215
|
1.2216
|
Номер итерации |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
Величина Искомой функции |
1.2216
|
1.2216
|
1.2217
|
1.2217 |
1.2217 |
1.2217 |
|
Рассматриваемая задача может быть решена с использованием локально-одномерного метода. Однако в этом случае для достижения необходимой точности приходится уменьшать величину временного интервала и увеличивать число итераций, так как простейшие схемы метода обладают первым порядком точности.
Рис. 24. Характер протекания итерационного процесса
при решении краевой
задачи