13. Связь между спектрами сигналов на входе и выходе простейшего импульсного элемента. Теорема Котельникова.

Под ПИЭ понимается такое устройство (гипотетические, не существующие в реальности) выходной сигнал которого представляет собой модулированную последовательность δ-функций, «площади» которых равны дискретным течениям входной величины.

При x(0)=0 спектры сигналов на входе и выходе ПИЭ связаны известным соотношением , где

x*(jω) – спектр сигнала на выходе ПИЭ,

x(jω) - спектр сигнала на входе ПИЭ,

ω_и – частота квантования сигнала.

Составляющие этого спектра при m≠0 называются транспонированными составляющими. Сопоставим действительные (можно...) составляющие спектров на входе и выходе ПИЭ. Видно, что сигнал на выходе ПИЭ из-за транспонированных составляющих является периодическим с частотой квантования ω_и, кроме того, ясно, что из спектра выходного сигнала ПИЭ x*(jω), полученного суммированием основной и транспонированных составляющих спектра на входе ПИЭ x(jω), нельзя восстановить спектр входного сигнала, ибо транспонированные составляющие его исказили.

Причина этого понятна – ведь в квантованном выходном сигнале ПИЭ теряется информация о входном сигнале между моментами квантования.

Можно, однако, указать условия, при выполнении которых этой потери информации не происходит:

1. пусть спектр входного сигнала x(t) финитен (конечен) S(jω)=0 при │ω│≥ω_гр;

2. пусть частота квантования сигнала ω_и≥2ω_гр.

Как видно из рисунка, транспонированные составляющие спектра Х*(jω) при ω_и≥2ω_гр не перекрываются с основной составляющей (т.е. m=0), в результате чего в диапазоне частот спектры x(jω) и x*(jω) совпадают (с точностью до пост. множества). Если поставить идеальный фильтр низких частей с постоянным коэффициентом усиления и равномерным пропусканием в полосе , то на его выходе будет получен восстановленный сигнал x(t).

Это все и есть содержание импульсной теоремы Котельникова.

14. Анализ методов решения задач оптимального управления.

Методы оптимизации — поиска экстремума функции при наличии ограничений или без ограничений очень широко используются на практике. Это прежде всего оптимальное проектирование (вы­бор наилучших номинальных технологических режимов, элемен­тов конструкций, структуры технологических цепочек, условий экономической деятельности, повышение доходности и т.д.), оптимальное управление, построение нелинейных математиче­ских моделей объектов управления (минимизации невязок раз­личной структуры модели и реального объекта) и многие другие аспекты решения экономических и социальных проблем (напри­мер, управление запасами, трудовыми ресурсами, транспортны­ми потоками и т.д. и т.п.).

Существует достаточно большое количество численных ме­тодов оптимизации.

Основные из них классифицируются следующим образом:

1. По размерности решаемой задачи: одномерные и многомер­ные.

2. По способу формирования шага многомерные методы де­лятся на следующие виды:

2.1.Градиентные.

• по способу вычисления градиента: с парной пробой и с центральной пробой;

• по алгоритму коррекции шага;

• по алгоритму вычисления новой точки: одношаговые и многошаговые.

2.2. Безградиентные: с поочередным изменением переменных и с одновременным изменением переменных.

2.3. Случайного поиска: с чисто случайной стратегией и со смешанной стратегией.

3. По наличию активных ограничений.

3.1. Без ограничений (безусловные).

3.2. С ограничениями (условные):

• с ограничениями типа равенств;

• с ограничениями типа неравенств;

• смешанные.

1. Методы одномерной оптимизации являются базой для не­которых «многомерных» методов. К данному методу относятся

1)метод деления пополам, который основан на делении текущего отрезка [a, b] на две равные части с последующим выбором одной из половин, в которой локализуется максимум в качестве следующего текущего отрезка.

2)метод золотого сечения, который основан на делении текущего отрезка [a, b] на две неравные части, подчиняющиеся правилу золотого сечения. Для определения следующего отрезка, содержащего максимум.

2. Многомерная безусловная градиентная оптимизация.

При отыскании экстремумов функции R(x) используются методы без активных ограничений, а величина шага в рекуррентном соотношении x_i+1=x_i+ i вычисляется с использованием градиента целевой функции R(x), т.е. i=f(grad R(x_i)). При этом шаг может определяться с использованием градиента в одной (текущей) или двух (текущей и предыдущей) точках. Направление градиента показывает направление наискорейшего возрастания функции, а его модуль – скорость этого возрастания. К методам данной оптимизации относится метод наискорейшего спуска и метод сопряженных направлений.

3. Многомерная безусловная безградиентная оптимизация.

В данных численных методах опти­мизации величина и направление шага к оптимуму формируются однозначно по определенным детерминированным функциям в зависимости от свойств критерия оптимальности в окрестности текущей точки без использования производных (т.е. градиента). Все алгоритмы имеют итерационный характер и выражаются формулой x _i+1 =x _i+f [R(x_i)].

Основная особенность рассматриваемой группы методов — отсутствие вычисления градиента критерия оптимальности. Ряд методов прямого поиска базируется на последовательном применении одномерного поиска по переменным или по другим задаваемым направлениям, что облегчает их алгоритмизацию и применение. К методам данной оптимизации относится метод Зейделя – Гаусса

4. Многомерная безусловная случайная оптимизация.

В методах случайного поиска шага при построении улучшающей последовательности x _i+1 =x_i + _i формируется случайным образом. Поэтому в одной и той же ситуации шаг может быть различен в отличие от регулярных методов.

В целом случайные методы поиска предпочтительнее регу­лярных в задачах высокой размерности n>10 и вдали от оптиму­ма. Методы этой группы позволяют в среднем быстрее выходить в район оптимума. Эффективны данные методы и при поиске глобального оптимума. Кроме того, случайные методы имеют ту осо­бенность, что даже при одних и тех же неформально задаваемых параметрах они дадут различные траектории поиска.

5. Многомерная условная оптимизация.

К данной оптимизации относятся численные методы по­строения улучшающих последовательностей при наличии огра­ничений типа равенств (связей) и типа неравенств (ограничений). Сюда не входят методы, использующие условия оп­тимальности. Во всех методах строится в допустимой области последовательность точек, в которых значения критерия улучша­ются. Поиск осуществляется градиентным методом.

Допустимая область может формироваться автономными ог­раничениями x_imin x_i x_imax, связями f_j(x₁, x₂, …x_n)=0 (j=1, 2, …m) и ограничениями f_j(x₁, x₂, …x_n)>0, для j = 1,..., р.

Функции, задающие ограничения, могут формировать допус­тимую область с различными свойствами: монотонными, коле­бательными, с большой и малой кривизной и т.д., что оказывает влияние на эффективность методов поиска.