Элементарный и полный импульс силы.

Действие силы на материальную точку в течении времени можно охарактеризовать элементарным импульсом силы .

Полный импульс силы за время , или импульс силы , определяется по формуле . (Полный интеграл за время от элементарного импульса).

В частном случае, если сила постоянна и по величине , и по направлению ( ), .

Проекции импульса силы на прямоугольные декартовы оси координат равны:

Единицей измерения импульса в СИ является –

13 Главный Момент количества движения системы.

Моментом количества движения системы материальных точек относительно некоторого центра называется векторная сумма моментов количества движения отдельных точек этой системы относительно того же центра

Моментом количества движения системы материальных точек относительно какой-либо оси , проходящей через центр , называется проекция вектора количества движения на эту ось .

Кинетический Момент количества движения твердого тела относительно оси вращения при вращательном движении твердого тела.

Вычислим момент количества движения твердого тела относительно оси вращения.

Момент количества движения твердого тела относительно оси вращения при вращательном движении равен произведению угловой скорости тела на его момент инерции относительно оси вращения.

Теорема об изменении кинетического момента количества движения системы.

Теорема. Производная по времени от момента количества движения системы, взятого относительно какого-нибудь центра, равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на систему относительно того же центра.

(6.3)

Доказательство: Теорема об изменении момента количества движения для точки имеет вид:

,

Сложим все уравнений и получим:

или ,

что и требовалось доказать.

Теорема. Производная по времени от момента количества движения системы, взятого относительно какой-либо оси, равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на систему относительно той же оси.

Для доказательства достаточно спроектировать векторное уравнение (6.3) на эту ось. Для оси это будет выглядеть так:.

(6.4)

Теорема об изменении кинетического момента количества движения системы относительно центра масс. (без доказательства)

Для осей движущихся поступательно вместе с центром масс системы, теорема об изменении момента количества движения системы относительно центра масс сохраняет тот же вид, что и относительно неподвижного центра.

Законы сохранения кинетического момента количества движения.

1. Если главный момент внешних сил системы относительно точки равен нулю ( ), то момент количества движения системы относительно точки постоянен по величине и направлению.

2. Если сумма моментов всех внешних сил системы относительно какой-либо оси равна нулю ( ), то момент количества движения системы относительно этой оси является постоянной величиной.

14 Работа силы. Мощность.

Запишем основное уравнение динамики для k – ой материальной точки:

,        .

 

Ускорение            .

,

где    ;

          -  элементарная работа внешних сил;

          -  элементарная работа внутренних сил.

Тогда   .

 

Разделим полученное равенство на dt и окончательно получим:

  

где   -  мощность внешних сил;

        -  мощность внутренних сил.

Мощность силы  есть скалярное произведение вектора силы на вектор скорости точки приложения силы:

;                    .Мощность от момента пары сил определяется по формуле .

Равенство (6) выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме.

 

Первый интеграл дифференциального уравнения (6) будет иметь вид:

                                              

где   -  кинетическая энергия механической системы в  любой момент времени;

         T_o - кинетическая энергия в начальный момент времени;

          -  суммы работ внешних и внутренних сил на перемещении точки или тела.

Применяя теорему в виде (6), мы всегда можем определить ускорение точки или угловое ускорение тела. Используя теорему в форме (7), мы находим скорость точки в зависимости от ее перемещения, или угловую скорость тела в зависимости от угла его поворота.

Одна из основных характеристик силы, оценивающих действие силы на тело при некотором его перемещении.

Э лементарная работа силы скалярная величина равная произведению элементарного перемещения на проекцию силы на это перемещение.

. ,

Единицей измерения работы в СИ является –

При при

Частные случаи:

Элементарное перемещение равно дифференциалу радиуса вектора точки приложения силы.

Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на элементарное перемещение или на дифференциал радиуса вектора точки приложения силы.

Элементарная работа силы равна скалярному произведению элементарного импульса силы на скорость точки.

Если сила задана своими проекциями ( ) на оси координат и элементарное перемещение задано своими проекциями ( ) на оси координат, то элементарная работа силы равна:

(аналитическое выражение элементарной работы).

Работа силы на любом конечном перемещении равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы.

Мощностью силы называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. В общем случае мощность равна первой производной по времени от работы.

,

Мощность равна скалярному произведению силы на скорость.

Единицей измерения мощности в СИ является –

В технике за единицу силы принимается .