Вопрос 11 «Связь напряжений и деформаций. Закон Гука. Упругие константы материала.» Напряжения и деформации при растяжении и сжатии. Закон Гука

В соответствии с принципом Сен-Венана можно считать, что на некотором удалении от места приложения нагрузки способ нагружения роли не играет и нормальная сила опре­деляется только равнодействующей нагрузки (рис. 2.5). Для большей части растянутого стержня справедлива гипотеза плоских сечений, согласно которой поперечные сечения смещаются параллельно начальному положению, оставаясь плоскими.

Если представить себе стержень, состоящим из тонких продольных элементов, торцы которых образуют плоскости поперечных сечений, то все они будут удлиняться одинаково. Следовательно, напряжения в каждой точке поперечного се­чения также будут одинаковы, что позволяет однозначно оп­ределить их из интегрального условия равновесия:

Поэтому для нахождения функции o(x,y) кроме условий равновесия необходимо дополнительно привлекать геометрические соображения, в нашем случае - гипотезу плоских сечений.

Рассмотрим возникающие при растяжении и сжатии де-формации. При растяжении длина стержня l получит приращение на величину Ml, а поперечные размеры сократятся соответственно на Аа и АЬ (рис. 2.7).

Рис 2.7

При сжатии соответственно уменьшится длина и увеличатся поперечные размеры.

Рассмотрим элемент стержня длиной dz (рис. 2.8).

N

Относительным удлине-"z нием стержня (продольной линейной деформацией) на-зывается

dz

Отсюда Adz = sdz; проинтегрировав это выражение по всей длине, получим абсолютное удлинение стержня

Al = J edz.

i

Эксперименты показывают, что линейная деформация по длине однородного стержня при растяжении постоянной силой не меняется, т. е. e = const, или

Al = el,

e = f (2.2)

Аналогично продольной деформации определяется по-перечная деформация в направлении размеров a и b:

- = Aa ; , = Ab

e а = ' e ь = 7" ab

Знак "минус" в этих выражениях отражает тот факт, что поперечные размеры уменьшаются при растяжении и увели-чиваются при сжатии.

Для изотропных материалов можно принять еа = eb = деформации к продольной для каждого материала есть постоянная величина, называемая коэффициентом Пуассона:

У всех существующих материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5. Конструкционные стали имеют ц = 0,25 -г- 0,3.

Значение коэффициента Пуассона, близкое к 0,5, свиде-тельствует о несжимаемости материала, т. е. независимости его объема от действующих нагрузок.

Между напряжениями и деформациями при растяжении существует зависимость, называемая законом Гука:

о Ee. (2.3)

Здесь Е- модуль упругости при растяжении (модуль упругости I рода). Модуль упругости E и коэффициент Пуассона ц являются основными упругими константами материала. Для сталей модуль упругости E составляет величину 2,O -г- 2,2-1O5 МПа; для ряда других конструкционных материалов его значение можно найти, например, в справочных таблицах [6]. Подставив в формулу (2.3) выражения (2.1), (2.2), получим ещё одну формулу записи закона Гука, позволяющую найти абсолютное удлинение стержня при растяжении:

М = - ? (2.4)

EA

Знаменатель этой формулы ЕА (произведение модуля упругости на площадь поперечного сечения) называют жесткостью стержня при растяжении (сжатии).

Для ступенчатого стержня, нагруженного несколькими сосредоточенными силами, удлинения вычисляются на участках, где сила N и жесткость EA постоянны, а результаты алгебраически суммируются:

М = YNil^. (2.5)

Формулу (2.5) можно обобщить на тот случай, когда нормальная сила и жесткость стержня непрерывно меняются по длине:

N = N (z), EA = EA( z).

Тогда

М =fN(z)dz. (2.6)

EA(z) V '

Полученные зависимости позволяют найти продольные перемещения сечений растягиваемого стержня.

z N (z)dz

EA

u (z) = u(0) + j:

где u (0) - перемещение сечения, расположенного в начале координат. Принимая за начало отсчета неподвижное сечение, перемещение произвольного сечения u (z) можно найти как удлинение части стержня, расположенного между этим сечением и заделкой (рис. 2.9).