Материальная точка
Изменение импульса материальной точки за малый промежуток времени равно элементарному импульсу за тот же промежуток времени результирующей всех сил, действующих на эту материальную точку.
2 . Система материальных точек.
Импульсом системы материальных точек назовем векторную сумму импульсов всех материальных точек системы
Билет №5.
Центром
масс (центром инерции)
системы материальных точек называется
точка
,
радиус вектор которой равен отношению
суммы произведений масс всех материальных
точек системы на их радиусы-векторы к
массе всей системы.
,
где
и
-
масса и радиус-вектор
-й
материальной точки,
и
-
общее число этих точек в системе и ее
суммарная масса.
В
частности, если радиусы-векторы проведены
из центра масс
(обозначим
их
),
то
Таким образом, центр масс- это геометрическая точка, для которой сумма произведений масс всех материальных точек, образующих механическую систему, на их радиусы-векторы, проведенные из этой точки, равна нулю.
Координаты центра масс системы:
В случае непрерывного распределения массы в системе (например, в случае протяженного тела) радиус-вектор центра масс системы
,
где
-
радиус-вектор малого элемента системы,
масса которого равна
,
а интегрирование производится по всем
элементам системы, то есть по всей ее
массе
.
Соответственно
импульс системы равен произведению ее
массы на скорость центра масс
.
Получаем закон
движения центра масс:
Центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная главному вектору приложения к системе внешних сил.
Этот закон показывает, что для изменения скорости центра масс системы необходимо, чтобы на систему действовала внешняя сила. Внутренние силы взаимодействия частей системы могут вызвать изменения скоростей этих частей (например при разрыве снаряда не несколько частей), но они не могут повлиять на суммарный импульс системы и на скорость ее центра масс.
Билет №6.
Момент силы
- относительно неподвижной точки
Моментом
силы
относительно
неподвижной точки
называется векторное произведение
радиуса-вектора
,
проведенного из точки
в точку
,
приложения силы на саму силу.
Точка принимается за начало координат инерциальной системы отсчета.
В
ектор
направлен
перпендикулярно плоскости векторов
и
по
правилу правого винта. Модуль момента
силы:
(где
-
угол между
и ,
-длина
перпендикуляра, опущенного из точки
на линию действия силы
.
Величина
называется
плечом силы
)
Момент импульса:
- материальной точки относительно неподвижной точки
М
оментом
импульса
материальной точки относительно
неподвижной точки
называется векторное произведение
радиуса-вектора
материальной
точки, проведенного из точки O,
на импульс этой материальной точки
Момент импульса:
- материальной точки относительно неподвижной точки
М оментом импульса материальной точки относительно неподвижной точки называется векторное произведение радиуса-вектора материальной точки, проведенного из точки O, на импульс этой материальной точки
- системы материальных точек относительно неподвижной точки
Моментом
импульса механической системы относительно
неподвижной точки
называется вектор
равный геометрической сумме моментов
импульса относительно той же точки всех
материальных точек системы.
- материальной точки относительно неподвижной оси.
- системы материальных точек относительно неподвижной оси.
Моментом импульса механической системы относительно оси называется проекция на эту ось вектора момента импульса системы относительно любой точки, выбранной на рассматриваемой оси.
Пара сил — две равные по величине и противоположные по направлению силы, приложенные к одному телу.
Равнодействующая пары сил — нулевой вектор. Кратчайшее расстояние между линиями действия сил, образующих пару сил, называют плечом пары.
Действие
пары сил на тело характеризуется моментом пары
сил — произведением модуля одной из
сил на плечо, 
.
Как и любой механический момент, момент
пары сил является псевдовекторной
величиной и
направлен перпендикулярно плоскости,
заданной параллельными прямыми, на
которых лежат векторы сил: 
(при
этом направление вектора плеча 
условно
следует задавать в сторону к точке
приложения выбранной из пары силы 
).
Момент пары сил не имеет точки приложения (Вторая теорема Вариньона): к каким бы частям твёрдого тела ни прикладывались силы, при данных величине и направлении момента сил вращаться оно будет одинаково.
Действие
силы, приложенной к твёрдому телу на
некотором расстоянии d отцентра
масс (в
точке, в которую из центра масс можно
провести вектор 
),
эквивалентно дествию такой же силы,
приложенной непосредственно к центру
масс, комбинированной с некоторой парой
сил, такой, что 
,
то есть с моментом, равным моменту
силы относительно центра
масс (в частности, если 
,
можем задаться 
,
в таком случае одна из сил будет приложена
в той же точке, что и исходная, и
составит 
).
М
омент
пары сил.
Парой называются силы равные по величине, противоположные по направлению, но не действующие по одной прямой.
Момент пары сил не зависит от выбора оси
(
-плечо
пары сил).
Уравнение моментов
- относительно неподвижной точки (оси).
Материальная точка.
0
-
Закон
Изменения Момента Импульса для
Материальной Точки.
Билет №7.
Тензор инерции.
-?
Тензор
инерции-
.
Это некоторая матрица:
,
где
,
,
-
осевые
моменты инерции, а все остальные числа-
центробежные моменты инерции.
Билет №8.
- относительно центра масс.
- система материальных точек.
0
(
)
-
относительно
оси, проходящей через центр масс системы.
Билет №9.
Момент силы
- относительно неподвижной оси.
Моментом
силы относительно неподвижной оси а
называется скалярная величина
равная
проекции на эту ось вектора момента
силы относительно какой-нибудь точки,
лежащей на оси а или векторная величина
,
где
-
орт оси а.
Также
,
(где
-
расстояние от точки приложения силы до
оси, а
-
проекция силы F
на направление вектора
=v/
,
где v-линейная
скорость этой точки вращающегося тела.
]
=
+
+
+
0 (направлено вдоль оси oo’)
Момент импульса:
- материальной точки относительно неподвижной оси.
- системы материальных точек относительно неподвижной оси.
Моментом импульса механической системы относительно оси называется проекция на эту ось вектора момента импульса системы относительно любой точки, выбранной на рассматриваемой оси.
L=I*ω-момент импульса через момент инерции и угловую скорость. Продифференцируем L по dt. Отсюда
-
основное
уравнение динамики вращательного
движения.
Билет №10.
Величина
,
равная сумме произведений масс
всех материальных точек , образующих
механическую систему, на квадраты их
расстояний
от данной оси, называется моментом
инерции системы относительно этой оси.
Момент инерции:
Материальной точки Системы материальных точек Абсолютно твердого тела
Таким образом, момент импульса тела относительно оси ОZ равен
Теорема Штейнера:
Момент
инерции
тела
относительно произвольной оси
равен
сумме моментов инерции
тела относительно параллельной ей оси
,
проходящей
через центр масс
тела
и произведения массы тела
на
квадрат расстояния
между этими осями.
Д
оказательство:
На
рисунке оси
и
направлены перпендикулярно плоскости
чертежа, а расстояния от малого элемента
тела массой
до этих осей обозначены соответственно
и
.
По теореме косинусов:
где
- абсцисса элемента
тела
в системе координат с началом в центре
масс тела и осью абсцисс, пересекающей
оси
и
и лежащей в перпендикулярной им плоскости.
Из определения центра масс следует, что
так
как центр масс совпадает с началом
координат
.
Справедливость соотношения доказана.