2.1. Среднее и мгновенное ускорение. Зависимости для X, V, a при равноускоренном движении.

Быстрота изменения v материальной точки определяется ускорением, т.е. мгновенное a – это первая производная скорости точки по t, т.е. изменение скорости на бесконечно малом промежутке времени. На основании этого мгновенное a – это также вторая производная по времени от радиус-вектора этой точки. Установим связь между кинематическими характеристиками материальной точки: v=dS/dt  S=интеграл Vdt. Рассмотрим случаи постоянного ускорения: а=dV/dt  v= интеграл adt = at + C (так как a=const). Пусть t=0, тогда V=V0 и С=V0, следовательно V=V0+At. Тогда берем интеграл от этой функции по времени и получаем путь S=V0t+At²/2 (при t=0 S=0 и С=0).

1.4. Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения при плоском движении материальной точки в пространстве.

В общем случае траектория точки – пространственная кривая, а ускорение a лежит в соприкасающейся плоскости. В соприкасающейся плоскости есть 2 избранных направления – касательная к траектории (это орт вектора r) и главная нормаль (орт n), поэтому вектор удобно разложить на 2 составляющие вдоль этих направлений, т.е. по базису  и n. a=a_+a_n. Составляющая a_=a_t* называется касательным или тангенциальным ускорением точки, а составляющая a_n= a_n*n – нормальным ускорением точки. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и = v²/R. Тангенциальное a характеризует изменение скорости по величине и = dv/dt. При малом значении изменения времени dt танг ускорение изменяет значение скорости на величину dv=a*dt. Вектор танг ускорения совпадает по направлению с вектором скорости при ускоренном движении и направлен в противоположную сторону при замедленном движении. Так как угол между векторами норм и танг ускорения равен 90, то a=…, а направление вектора ускорения находится как векторная сумма a=a_t+a_n.

При поступательном движении твердого тела все его точки имеют одинаковые скорости и ускорения и описывают одинаковые траектории, смещенные относительно друг друга.

1.6. Закон сохранения импульса.

Импульсом тела называют векторную физическую величину, являющуюся количественной характеристикой поступательного движения тел. Импульс обозначается p. Единица измерения импульса – кг м/с. Импульс тела равен произведению массы тела на его скорость: p=mv. Направление вектора импульса p совпадает с направлением вектора скорости тела v. Для импульса тел выполняется закон сохранения, который справедлив только для замкнутых физических систем. В общем случае замкнутой называют систему, которая не обменивается энергией и массой с телами и полями, не входящими в неё. В механике замкнутой называют систему, на которую не действуют внешние силы или действие этих сил скомпенсировано. В этом случае p1=p2, где p1 – начальный импульс системы, а p2 – конечный. В случае двух тел, входящих в систему, это выражение имеет вид m1v1+m2v2=m1v1’+m2v2’, где m1 и m2 – массы тел, v1 и v2 – скорости до взаимодействия, v1’ и v2’ – скорости после взаимодействия. Эта формула и является математическим выражением закона сохранения импульса: импульс замкнутой физической системы сохраняется при любых взаимодействиях, происходящих внутри этой системы; т.е. в замкнутой физической системе геометрическая сумма импульсов тел до взаимодействия равна геометрической сумме импульсов этих тел после взаимодействия. В случае не замкнутой системы импульс тел системы не сохраняется.

1.5. 1-й, 2-й, 3-й законы Ньютона.

Первый закон утверждает, что существуют такие системы отсчета, в которых всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействия со стороны других тел не заставят его изменить это состояние. Свойство тела сохранять свое состояние неизменным называют инерцией, а системы отсчета, в которых выполняется этот закон, - инерциальными. Физический смысл закона состоит в том, что для механики нет различия между состоянием покоя и равномерного прямолинейного движения. Он подчеркивает относительность движения.

Второй закон: Опыт показывает, что одна и та же сила сообщает различным телам разные ускорения. Более массивные тела приобретают меньшие ускорения. Для характеристики способности тел противостоять действию силы используется понятие массы. Отсюда физический смысл массы – это мера инертности тела. Чем меньше ускорение, которое получает тело, тем больше его масса, т.е. ускорения тел обратно пропорциональны их массам: Приняв какую-либо массу за эталон, с помощью этого соотношения можно измерять любую массу. Величина ускорения, которое получает тело определенной массы, зависит от величины силы a = k F, где k - коэффициент пропорциональности. Следовательно a=kF/m. Выбор коэффициента пропорциональности зависит от выбора системы единиц. В настоящее время во всех существующих системах единиц принято считать k = 1, т.е. a=F/m. Ускорение - вектор, масса - величина скалярная (число), поэтому сила тоже вектор, направление которого совпадает с направлением ускорения. Если на тело действует несколько сил, то ускорение тела пропорционально их геометрической сумме: ma=сумма F. Это уравнение - векторное, и его можно заменить тремя скалярными, проектируя поочередно на оси координат X, Y и Z. Второй закон Ньютона может быть сформулирован с помощью понятия импульса тела. Импульсом принято называть величину p=mv, где v - скорость тела. В ньютоновской механике предполагается, что масса тела постоянна и не зависит от скорости, поэтому: dv/dt=d(mv)/dt=dp/dt.

Или: dp/dt=сумма F.

Третий з-н: Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными в противоположные стороны вдоль соединяющей эти точки прямой. 3зН в соединении его с первым и вторым законами позволил перейти от динамики отдельной материальной точки к динамике произвольной механической системы.