§2. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

Рациональные дроби вида

,

где , называются простейшими дробями соответственно 1, 2, 3, 4-го типов.

Рассмотрим интегралы от простейших дробей.

1. .

2.

.

3. Для того, чтобы понять, как проинтегрировать простейшую дробь

3-го типа , рассмотрим сначала частный случай, когда .

Поскольку знаменатель на вещественные множители не раскладывается, можно ввести обозначение . Тогда дробь примет вид

.

Найдем интеграл от этой дроби.

.

Теперь рассмотрим интеграл от простейшей дроби 3-го типа в общем виде:

Выделим полный квадрат в знаменателе.

.

Интеграл примет вид

.

Сделаем замену переменной

, .

.

Вернемся к старой переменной.

.

Рассмотрим интеграл от простейшей дроби 4-го типа:

..

Применим к нему ту же подстановку, что и в случае простейшей дроби 3-го типа:

, .

Тогда наш интеграл сводится к сумме двух интегралов:

.

Первый интеграл вычисляется следующим образом:

.

Второй интеграл вычисляется с помощью так называемой рекуррентной формулы:

,

где .

Используя эту формулу, мы получаем интеграл, где степень знаменателя уменьшается на 1. Применяя эту формулу к интегралу раз, придем к табличному интегралу .

Примеры интегрирования простейших дробей.

Пример 2.1. – интеграл от простейшей дроби 1-го типа.

.

Пример 2.2. – интеграл от простейшей дроби 2-го типа .

.

Пример 2.3.

Пример 2.4. – интеграл от простейшей дроби 3-го типа (частный случай).

.

Пример 2.5. – интеграл от простейшей дроби 3-го типа.

Выделяем полный квадрат в знаменателе:

.

Замена переменной .

.

Пример 2.6. – интеграл от простейшей дроби 4-го типа .

.

Интеграл будем вычислять с помощью рекуррентной формулы.

.

Примеры для самостоятельного решения.

№	Условие	Ответ
1.
2.
3.
4.
5.

§3. Представление правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей

Теорема. Правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей единственным образом.

Пусть дана рациональная дробь

,

где – многочлен степени n – правильная дробь причем

Эта дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей по схеме

,

где A_i M_j, N_j – числа, которые подлежат определению. Такое представление называется разложением дроби на сумму простейших дробей.

Схема приведена для частного случая. Если в знаменателе имеется несколько сомножителей типа каждый из них порождает s дробей (простейшие дроби 1 и 2-го типов), а каждый из сомножителей типа порождает r дробей (простейшие дроби 3 и 4-го типов).

Рассмотрим несколько примеров разложения правильной дроби на простейшие без определения коэффициентов.

Пример 3.1.

.

В этом примере стрелками указаны дроби, «порожденные» соответствующими множителями знаменателя.

На этом этапе разложения можно сделать небольшую проверку. Количество неизвестных коэффициентов в правой части обязательно должно быть равно степени знаменателя исходной дроби. В данном примере степень знаменателя равна пяти. Количество коэффициентов – тоже пять.

Пример 3.2.

Пример 3.3. Разложить дробь на сумму простейших дробей

.

Проверка: степень знаменателя – пять, количество коэффициентов – пять.

Для определения коэффициентов надо правую часть привести к общему знаменателю и приравнять числители левой и правой частей.

,

.

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях :

Решая полученную систему, получим

.

Таким образом,

.

Пример 3.4. Разложить дробь на сумму простейших дробей.

Дробь правильная. Запишем разложение в общем виде:

Приведем правую часть к общему знаменателю и приравняем числители:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

Решая систему, получим

Итак, получим

Пример 3.5. Разложить дробь на сумму простейших дробей.

.

Степень знаменателя равна трем, три неизвестных коэффициента.

,

Решая полученную систему, получим ,

Следовательно,

В следующем примере будет показан иной способ нахождения неопределенных коэффициентов разложения.

Пример 3.6. Разложить дробь на сумму простейших дробей.

.

Приравниваем числители:

.

Применим метод частных значений. Последовательно подставим в полученное равенство значения , которые являются корнями знаменателя.

,	,	,	.
,	,	,	.
,	,	,	.

При подстановке каждого из значений два слагаемых в равенстве обращаются в ноль. Это облегчает нахождение коэффициентов. Заметим, однако, что этот метод наиболее эффективен, если в разложении все простейшие дроби – 1-го типа.

Подставляя полученные коэффициенты в разложение, получим

.

Примеры для самостоятельного решения.

№	Условие	Ответ
1
2
3		.

Пример 3.7. Рассмотрим неправильную рациональную дробь

.

Чтобы ее проинтегрировать, нужно представить ее в виде суммы многочлена и суммы простейших дробей.

Так как степень числителя равна 4, а степень знаменателя равна 2, то дробь можно представить в виде суммы многочлена степени 4–2=2 и суммы простейших дробей

,

то есть в общем виде

Определим коэффициенты. Для этого приведем правую часть к общему знаменателю, а затем приравняем числители левой и правой части:

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях :

Решив систему

получим

Окончательно получаем: