Сложение в обратных кодах

Случай 1. А и В положительные числа.

При суммировании таких чисел просто складываются их обратные коды (которые равны прямым), включая знаковый разряд. Учитывая тот факт, что у положительных чисел знаковый разряд равен нулю, у суммы он также равен нулю, следовательно, число получается положительное.

13₁₀ = 0000 1101₂ (ПК/ОК)

23₁₀ = 0001 0111₂ (ПК/ОК)

(13+23)₁₀ = 0010 0100₂ (ПК/ОК) = 36₁₀

Случай 2. А — положительное, а В — отрицательное, по модулю больше А.

В этом случае мы просто складываем числа А и В. Результат получаем, как обычно, в обратном коде:

13₁₀ = 0000 1101₂ (ПК/ОК)

−23₁₀ = 1001 0111₂ (ПК) = 1110 1000₂ (ОК)

(13 + (−23))₁₀ = 1111 0101₂ (ОК) = 1000 1010₂ (ПК) = −10₁₀

Случай 3. А — положительное, а В — отрицательное, по модулю меньше А.

На первый взгляд, кажется, что этот случай не отличается от рассмотренного выше второго, однако, давайте посмотрим, что же получится в итоге:

−13₁₀ = 1000 1101₂ (ПК) = 1111 0010₂ (ОК)

23₁₀ = 0001 0111₂ (ПК)

Обратите внимание на результат. У нас выходит, будто сумма — отрицательное число (ибо в знаковом разряде единица), причем, цифр также больше. И, даже если бы не будем учитывать знак, а просто переведем модуль, то получим 9₁₀, а не 10₁₀, как должно быть.

Компьютер решает эту проблему, прибавляя получившуюся «лишнюю» единицу к получившемуся числу. Выглядит это следующим образом:

Как видите, в результате мы получили положительное число 0000 1010₂, переведя которое в десятичную систему счисления мы получим 10₁₀. А это и есть правильный ответ.

Случай 4. А и В отрицательные числа.

При таких условиях нам точно так же, как и в третьем случае, придется прибавлять единицу из знакового разряда к основному числу.

Проверим:

−13₁₀ = 1000 1101₂ (ПК) = 1111 0010₂ (ОК)

−23₁₀ = 1001 0111₂ (ПК) = 1110 1000₂ (ОК)

Переведем получившийся обратный код в десятичное число: 1101 1011₂ (ОК) = 1010 0100₂ (ПК) = −36₁₀. Как мы видим, ответ получился верным.

Однако, не всегда сложение проходит так гладко. Если вдруг числа у нас достаточно большие, то может возникнуть переполнение, то есть, результат не будет помещаться в выделенное для него место в памяти. Как вам понять, что возникло переполнение? Конечно, можно перевести число в десятичную систему счисления и проверить, больше ли модуль этого числа, чем максимально возможный. Однако, есть и другой способ. Если знак результата получается не таким, какой вы ожидали (не такой, как в примерах выше), значит, произошло переполнение.

К слову, «максимально возможный модуль» для чисел со знаком равен 2^n-1, где n — количество бит, отведенных для хранения числа. Напомню, что в 1 байте 8 бит, в 2 байтах 16 бит и так далее. Получается, что если на хранение числа у вас отводится один байт, то максимально возможный модуль это 2^8-1 = 2⁷ = 128. Если число у вас получается по модулю больше, значит, для операции требуется выделить на слагаемые больше памяти.

Отмечу, что переполнение может возникнуть только в том случае, когда оба числа положительны или отрицательны, ибо, когда знаки у них разные, модуль результата будет меньше как минимум одного слагаемого.

Случай 5. Переполнение, когда А и В положительные.

100₁₀ = 0110 0100₂ (ПК/ОК)

30₁₀ = 0001 1110₂ (ПК/ОК)

Заметьте, что, складывая два положительных числа, мы получили отрицательное. Следовательно — переполнение.  Решается это, как я уже говорил, расширением диапазона:

100₁₀ = 0000 0000 0110 0100₂ (ПК/ОК)

30₁₀ = 0000 0000 0001 1110₂ (ПК/ОК)

Обратите внимание, что теперь в старшем разряде у нас 0, а значит, получили мы положительное число. И, естественно, результат верен: 0000 0000 1000 0010₂ = 130₁₀.

Случай 6. Переполнение, когда A и B — отрицательные. 

Тут та же история, что и в пятом случае. Убедимся в этом:

-100₁₀ = 1110 0100₂ (ПК) = 1001 1011₂ (ОК)

-30₁₀ = 1001 1110₂ (ПК) = 1110 0001₂ (ОК)

Как обычно, убираем лишнюю единицу, прибавляя ее к результату:

Итог: положительное число. Что делаем? Расширяем диапазон!

-100₁₀ = 1000 0000 0110 0100₂ (ПК) = 1111 1111 1001 1011₂ (ОК)

-30₁₀ = 1000 0000 0001 1110₂ (ПК) = 1111 1111 1110 0001₂ (ОК)

На этот раз получается отрицательное число. Значит, все верно.