1.2 Постановка задачи

Задача состоит в том, чтобы при наблюдении за объектом стабилизировать квадрокоптер на некотором расстоянии от него. Причем стабилизации должна заключаться не только в стабилизации летательного аппарата как материальной точки, но и в стабилизации квадрокоптера по направлению, т.к. для наблюдения необходимо, чтобы видеокамеры были направлены на объект.

Таким образом, необходимо на автопилоте или ручном управлении приблизить квадрокоптер на некоторое расстояние до цели, при этом по стереозибражению с оптических камер будет вычисляться в реальном масштабе времени расстояние до цели. Как только квадрокоптер приблизиться на достаточное расстояние на его контроллер будет передан сигнал, который передаст управление квадрокоптером программе стабилизации, которая выберет точку в пространстве и затем стабилизирует в ней летательный аппарат.

2.Модель квадрокоптера

.1 Системы координат

При практическом использовании уравнений движения БЛА их записывают в проекциях на оси выбранных систем координат (СК). В данной работе удобно использовать две правых прямоугольных системы координат, назовем их неподвижной и подвижной системами координат:

. Неподвижная система координат. Начало находиться в точке O, в которой необходимо стабилизировать квадрокоптер. Оси OX и OY расположены в горизонтальной плоскости, а ось OZ направлена вверх.

2. Подвижная система координат. Начало находиться в центре масс квадрокоптера, в точке . Оси этой системы координат: , и сонаправлены с осями координат неподвижной СК. Таким образом, подвижная СК получается из неподвижной СК параллельным переносом на радиус вектор центра масс квадрокоптера в неподвижной СК.

Рис. 1.2. Неподвижная и подвижная системы координат

2.2 Момент инерции

Пусть квадрокоптер лежит в плоскости OXY, его центр масс находиться в точке O, а балки AC и BD, на которых расположены роторы, лежат вдоль осей OX и OY. Момент инерции квадрокоптера одинаков вокруг любой оси MN, лежащей в плоскости квадрокоптера OXY. Обозначим массу квадрокоптера как . Пусть масса каждого ротора сосредоточена в точках A, B, C и D и равна , а вся масса корпуса равномерно распределена на отрезках АС и BD и равна .

Рис. 1.3. Расчет момента инерции

Тогда момент инерции квадрокоптера относительно любой оси MN составляющей с осью BD угол α равен:

(2.2.1)

Момент инерции относительно оси OZ, перпендикулярной плоскости OXY и проходящей через точку O, вычисляется по формуле:

(2.2.2)

2.3 Уравнения движения

Квадрокоптер, как и любое твердое тело, является системой с шестью степенями свободы, соответственно для описания его движения требуется шесть независимых числовых уравнений или два векторных уравнения.

Уравнения движения центра масс

Вектор силы тяжести приложен к центру масс квадрокоптера и имеет вид: , где - ускорение свободного падения.

Сила сопротивления воздуха , где - безразмерный аэродинамический коэффициент, - плотность воздуха, - площадь поверхности. Таким образом, сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости с некоторым коэффициентом и направлена противоположно скорости.

Вектор суммарной силы тяги всех роторов также приложен к центру масс и имеет вид: , где , , и - силы тяг первого, второго, третьего и четвертого роторов соответственно

Вектор некоторой посторонней силы обозначим как . В случае когда сила вызвана ветром , так как сила, с которой действует ветер на квадрокоптер фактически является силой сопротивления воздуха.

Таким образом, векторное уравнение описывающее движение цента масс квадрокоптера в неподвижной системе координат имеет вид:

Скорость можно получить выразив ускорение и проинтегрировав его по времени:

Проинтегрировав скорость, получается радиус вектор до центра масс квадрокоптера, т.е. координаты положения центра масс квадрокоптера:

Уравнение моментов:

Уравнение моментов в данном случае удобно рассматривать относительно центра масс, в подвижной системе координат. Уравнение моментов описывает вращение тела относительно мгновенной оси. В этой модели вращение может быть вызвано только силами, которые создают роторы. Введем векторы

, , и - радиус векторы роторов в подвижной системе координат. Длины этих векторов равны между собой и равны .

Рис. 1.4. Схематическое изображение квадрокоптера в подвижной СК

В данном случае удобней разбить это уравнение на два: первое уравнение будет описывать вращение вокруг оси симметрии квадрокоптера, второе уравнение будет описывать вращение вокруг оси лежащей в плоскости квадрокоптера. Тогда первое уравнение имеет вид:

Выразив угловое ускорение из этого уравнения и проинтегрировав его по времени, можно получить угловую скорость:

,

где , и в - компоненты вектора по осям координат.

Проинтегрировав по времени угловую скорость, можно получить углы поворота квадрокоптера вокруг осей подвижной СК:

,

где компоненты , и вектора представляют собой углы поворота вокруг осей нормальной системы координат OX, OY и OZ соответственно.

Рассмотрим вращение квадрокоптера вокруг оси перпендикулярной плоскости. Обозначим реактивный момент винтов как . Вектор этого зависит только от величины и направлен вдоль нормали к плоскости квадрокоптера. Кроме реактивного момента существует еще сонаправленый ему момент сил, вызванный гироскопическим эффектом из-за изменения гироскопических моментов роторов, который тоже может вращать корпус квадрокоптера вокруг этой оси, но так как роторы вращаются в разных направлениях его можно не рассматривать. Тогда модуль углового ускорения выражается формулой:

,

Где - некоторая функция зависящая от величины .

Проинтегрировав это выражение можно получить модуль угловой скорости, при этом полученная угловая скорость всегда будет направлена перпендикулярно плоскости квадрокоптера. Обозначим единичный вектор направленный перпендикулярно плоскости квадрокоптера как . Таким образом, получаем:

А проинтегрировав это уравнение получается углы поворота квадрокоптера вокруг осей подвижной СК.

Таким образом, суммарные значение угловой скорости и углов поворота будут равны: