4. Линейная оболочка множества. Конечномерные бесконечномерные векторные пространства

Опр.

Векторное пространство называется конечномерным, если оно порождается конечным числом векторов, и бесконечномерным в противном случае.

Опр.

Пусть S – какое-то подмножество множества V. Совокупность всевозможных (конечных) линейных комбинаций векторов из S наз. линейной оболочкой множества S и обозначается через <S>.

Это наименьшее подпространство пространства V, содержащее S. Говорят, что пространство V порождается множеством S, если V=<S>.

5. Основная лемма о линейной зависимости

Если векторное пространство V порождается n-векторами, то всякие m>n векторов пространства V линейно зависимы.

Доказательство. Пусть V=< a₁, a₂,…, a_n > и b₁,b₂,…,b_m (m>n) - какие-то векторы пр-ва V. Выразим их через a₁, a₂,…, a_n .

b₁=s₁₁ a₁ + … +s_1n a_n

b₂=s₂₁ a₁ + … +s_2n a_n

……………..

b_m=s_m1 a₁+ … +s_mn a_n

Для любых t₁, … , t_m из поля К. получим отсюда t₁b₁+…+ t_m b_m = (t₁s₁₁+…+ t_ms_m1) a₁ + … +(t₁s_1n+…+ t_ms_mm) a_n

Рассмотрим систему n однородных линейных уравнений c m независимыми

s₁₁ x₁ + … +s_1n x_n=0

s₂₁ x₁ + … +s_2n x_n=0

……………..

s_m1 x₁+ … +s_mn x_n=0

Если t₁, … , t_m - произвольное решение этой системы, то t₁ b₁+…+ t_m b_m=0.

С другой стороны, эта система имеет ненулевое решение, так как m>n. Следовательно, векторы b₁,b₂,…,b_m линейно зависимы.

6. Определение базиса линейного пространства. Переформулировка определения базиса. Теорема о существовании базиса в конечномерном векторном пространстве.

Опр6.Система векторов {e₁, … , e_n} из V назыв. базисом линейного пространства V, если каждый вектор a из V единственным образом линейно выражается через e₁, … , e_n . Коэфициенты этого выражения наз. координатами вектора a в базисе {e₁, … , e_n}.

Опр7.Базисом векторного пространства V назыв. всякая линейно независимая система вектора, порождающая пространство V.

Теорема1.

Всякое конечномерное векторное пространство V обладает базисом. Более точно, из всякого конечного порождающего множества S пространства V можно выбрать базис пространства V.

Доказательство.

Если множество S ЛЗ, то по лемме 1 в нем найдется вектор, линейно выражающийся через остальные. Выкидывая этот вектор, мы получим порождающее множество из меньшего числа векторов. Продолжая так далее мы в конце концов получим линейно независимое порождающее, т.е. базис.

7. Размерность векторного пространства.

Теорема 2. Все базисы конечномерного векторного про­странства V содержат одно и тоже число векторов.

Это число называется размерностью пространства V и обозначается dim V.

Доказательство. Если бы в пространстве V существовали два базиса из разного числа векторов, то, согласно предложению 1, тот из них, в котором больше векторов, был бы линейно зависим, что противоречит определению базиса. □

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Нулевое векторное пространство (состоящее из одного нулевого вектора) считается обладающим «пустым базисом»; в соответствии с этим его размерность считается равной нулю.

ПРИМЕР 4. Пространство Е² (соответственно Е³) имеет раз­мерность 2 (соответственно 3).

пример 8. Поле R как векторное пространство над q бесконечномерно. В самом деле, если бы оно было конечномерным, то вещественное число определялось бы конечным набором рациональных чисел — своих координат в некотором базисе этого пространства. Но тогда множество всех вещественных чисел было бы счетным, что неверно.

Из основной леммы о линейной зависимости (предложение 1) следует, что в любом (конечном или бесконечном) множестве S векторов конечномерного векторного пространства V имеется максимальное линейно независимое подмножество, т. е. такое ли­нейно независимое подмножество, которое становится линейно зависимым при добавлении к нему любого из оставшихся векторов множества S. Более того, любое линейно независимое подмноже­ство множества S можно дополнить до максимального линейно независимого подмножества.

8. Теорема о построении базиса.

Предложение 2. Всякое максимальное линейно независимое подмножество {е_1;..., е_к} множества S является базисом линейной оболочки <S> этого множества.

Доказательство. Нужно доказать, что каждый вектор из <S> линейно выражается через е₁ ..., е_к. По определению линей­ной оболочки каждый вектор из <S> линейно выражается через векторы из S. Поэтому достаточно доказать, что каждый вектор а из S линейно выражается через е₁ .. .,е_к. Для вектора а из {е1,..., е_к} это очевидно. Если а не принадлежит {е1,..., е_к}, то а выражается через векторы е₁ .. .,е_к по леммы 2. □

Применяя высказанные соображения к S = V, мы получаем следующую теорему.

Теорема 3. Всякую линейно независимую систему векторов конечномерного векторного пространства V можно дополнить до базиса.

Доказательство. Нужно взять в предлю2 S=V и заменить, что <V>=V. □

Из т.3 следует, что, любой ненулевой вектор можно включить в базис, а любые п линейно независимых векторов n-мерного векторного пространства уже составляют базис.

9. Изоморфные векторные пространства. Теорема о конечномерных векторных пространствах над полем.

Теорема 4. Всякое подпространство U конечномерного векторного пространства V также конечномерно, причем dim U ≤ dim V. Более того, если U ≠V, то dim U < dim V.

Доказательство. Пусть {е_{, е₂,..., е_к}— максимальная линейно независимая система векторов подпространства U. Со­гласно предложению 2, {е,, е₂,..., е_к} — базис этого подпростран­ства. Следовательно, dimU = k. Линейно независимую систему {е1, е₂,..., е_к} можно дополнить до базиса всего пространства V. Следовательно, если U ф= V, то dim V > к. □ Опр.8. Векторные пространства V и U над полем K наз. изоморфными, если сущ. такое биективное отображение f:V→U, что 1) f(a+b)=f(a)+f(b) для ∀ a,b, из V. 2) f(sa)=sf(a) для ∀ S из K, a из V.

Само отображение f наз. изоморфизмом пространства V и U.

Предложение 3. Всякое векторное пространство V над полем К, имеющее базис из n вектора, изоморфно пространству . Доказательство. Пусть {е,,..., е_п}- базис пространства V. Рассмотрим отображение f:V→ , ставящее в соответствие каждому вектору строку из его координат в базис {е,,..., е_п}. Этом отображение явл. биективным. δЄV; δЄδ1e1+ δ2e2+…+ δnen. f (δ)=( δ1,δ2,…, δn). Если a=a1e1+…+anen; b=b1e1+…bnen, то a+b=(a1+b1)e1+…+(an+bn)en, sa=(sa1)e1+…+(san)en. Отсюда следует, что f – изоморфизм. □

f(a+b)=(a1+b1,+…+,an+b)=(a1,…,an)+(b1,…,bn)=f(a)+f(b). Пример 8. Пространство изоморфно пространству . Пространство изоморфно пространству . Теорема 5. Конечномерные векторные пространства над одним и тем же полем изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.

Доказательство. Если f : V —> U — изоморфизм век­торных пространств и {е_1, ..., е_п} — базис пространства V, то {f(е1),..., f(еn)} — базис пространства U, так что dim V = dim U. Обратно, согласно предложению 3, всякое n-мерное векторное пространство над полем К изоморфно К^п; следовательно, все такие пространства изоморфны между собой. □

Таким образом, в любом рассуждении мы вправе заменить произ­вольное n-мерное векторное пространство над полем К простран­ством строк К^п. В пространстве К^п имеется «привилегированный» базис, состоящий из единичных строк. Совокупность всех базисов n-мерного векторного пространст­ва V может быть описана следующим образом. Пусть {е,,..., е_п} — какой-либо фиксированный базис. Любая система п векторов { е'₁,..., е'_п} может быть тогда задана квадратной матрицей С = (с_у), определяемой равенствами .