52. Исследование формы эллипса

Пусть х²/а²+у²/b²=1, где b²=a²-c²

F₁(-c,0) F₂(c,0)

1)y²=b²/a²(a²-x²) => x²≤a² , |x|≤a x=a, x=-a;

X²=a²/b²(b²-y²) => y²≤b², |y|≤b y=b, y=-b;

Все точки эллипса расположены внутри прямоугольника , ограниченного прямыми.

2) M₁(x₁,y₁) принадлежит эллипсу, то M₂(-x₁,y₁), M₃(-x₁,-y₁), M₄(x₁,-y₁) принадлежат эллипсу

Эллипс симметричен относительно оси О_х ,О_у и начало координат. О(0,0) – центр эллипса. Будем исследовать эллипс только в 1-ой четверти

X≥0 , y≥0 y²= (a²-x²)

y= , Х изменяется от О до a

если х=0 , то у=b

если х возрастает , то у убывает

если х=а , то у=0

А₁(-а,0) , А₂(а,0) вершины эллипса

В₁(-b,0) , B₂(b,0)

Опр. Прямая , проходящая через фокусы называется факальной осью.

Опр. Расстояние от центра эллипса до вершины факальной оси называется большей полуосью (а)

Опр. Расстояние от эллипса до вершины факальной оси называется меньшей полуосью.(b-меньшая полуось)

Опр. Число равное отношению расстояния между фокусами к расстоянию между вершинами факальной оси наз. эксцентриситетом (степень сжатия окружности из которой получится эллипс) ε<1.

Опр.Отрезок, соединяющий точку эллипса сфокусам называется факальным радиусом (МF₁ ,MF₂)

МF₁=a+(c/a)x=a+εx

MF₂=a-(c/a)x=a+εx

Опр. Длина перпендикуляра восстановленного из фокуса до пересечения с эллипсом наз. Факальным араметром Р.

Факальный параметр p=b²/a

Оптическоесв-во эллипса

X²/9+y²/25=1 c²=16 c=4; x^’=y, y^’=x. F₁(-4,0)F₂(4,0)

X^’2/25+y^’2/9=1 b²=a²-c²

53. Гипербола и ее каноническое уравнение

Пусть F₁ F₂– точки, F₁*F₂=2C

Опр. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных F₁ F₂ есть число пост. Равное 2а. с>a

| МF₁- MF₂|=2a

Введем прямоугольную систему координат

F₁ (-c,0), F₂ (c,0), M(x, y)

МF₁=

MF₂=

| МF₁- MF₂|=2a

МF₁- MF₂=±2a

(с²-а²)x²-a²y²=a²(c²-a²), b²=c²-a²

b²x²- a²y²=a²b² (поделимна a²b²)

, b²=c²-a² - каноническое уравнение гиперболы

Покажем, что всякая точка M₀(x₀,y₀)

x²/a²-y²/b²=1;

x₀²/a²-y²₀/b²=1;

y₀=

M₀F₁= (c/a)x₀+a

M₀F₂=|(c/a)x₀-a|=(c/a)x₀-a

|М₀F₁-M₀F₂|=|2a|=2a

54. Исследование формы гиперболы

Рассмотримx

1)y²= => x²≥a² |x|≥a Нет точек гиперболы лежащих внутри полосы oграниченных линиями

2) Пусть M₁(x, y), M₂(-x₁, y₁), M₃(-x₁, -y₁), M₄(x₁,-y₁) ϵ гиперболе

Гипербола симметрична относительно Оси Ox, Oy и начало координат, О(0,0)- вершина

3) В силу симметрии гиперболы можно рассматривать только часть гиперболы лежащую в 1-ой четверти

x≥0, y≥0, y= ,если х=а , то у=0,

если х -возрастает , то у – возрастает.

Рассмотрим прямую y=(b/a)x, M₁P<MN

M₁N=(b/a)x-

y=ax/b, y=-ax/b -асимптоты гиперболы.

Опр: Прямая проходящая через фокусы называется факальной осью.

Опр: Расстояние от центра гиперболы до точки пересечения с факальной осью называется действительной полуосью.

Опр: Число b= c²-a²–называется мнимой полуосью

Опр: Число равное отношению расстояния между вершинами гиперболы называется эксцентриситет.

Опр:ТочкиA₁(-a, 0), A₂(a, 0) } – действительные вершины

B₁(-b, 0), B₂(b, 0) } – мнимые вершины

Опр:Факальным радиусом точки гиперболы называется отрезок соединяющий точку с фокусом.

r₁=МF1=|cx₀/a+a|=|εx₀+a |

r₂=MF2=|cx₀/a-a|=|εx₀-a |

Факальным параметром называется длина перпендикулярна восстановленного из фокуса до пересечения с гиперболой.