Экспериментальное опровержение аксиомы параллельных

Мы выточили на станке деревянную модель псевдосферы, на которой наглядно можно опровергнуть аксиому параллельных прямых. Посмотрите, ведь на самом деле, через данную точку плоскости, можно провести не одну параллельную прямую, а бесконечное множество. Вот оно - удивительное рядом! Наши одноклассники были в шоке! А ведь все дело - в плоскости. Она изогнута. Вы можете не согласиться и сказать, что плоскость не может быть такой. Но ведь в аксиоме параллельных прямых ясно прописано: в любой плоскости. То есть мы ничего не нарушили: нашу модель можно отнести к плоскости. Но только аксиома Евклида в ней не «работает»!

Кстати, модель называется псевдосферой. А получается она путем вращения … Об этом мы скажем чуть позже.

Посмотрите, через точку М проходят две прямые, параллельные прямой D.

₅

II. Доказательство некоторых понятий и фактов геометрии Лобачевского

История создания геометрии Лобачевского одновременно является историей попытки доказать пятый постулат Евклида. Этот постулат представляет собой одну из аксиом, положенных Евклидом в основу изложения геометрии. Пятый постулат - последнее и самое сложное из предложений, включенных Евклидом в его аксиоматику геометрии. Напомним формулировку пятого постулата: если две прямые пресекаются третьей так, что по какую -либо сторону от неё сумма внутренних углов меньше двух прямых углов, то по ту же сторону исходные прямые пересекаются.

Например, если угол α – прямой, а угол β чуть меньше прямого, то прямые c и d непременно пересекаются, причём справа от прямой m.

Лобачевский сформулировал новую аксиому параллельных, прямо противоположную аксиоме Евклида: через точку вне прямой можно провести не только одну прямую, не встречающую данной прямой, а по крайней мере две.

Заменив этой аксиомой пятый постулат Евклида, Лобачевский разработал свою неевклидову геометрию, которая оказалась такой же безупречной и правильной, как и геометрия Евклида.

Мы внимательно изучили основные положения двух геометрий и пришли к выводу: геометрия Лобачевского отличается от геометрии Евклида лишь в одной аксиоме - пятой. Но главное различие кроется в понимании природы самого пространства.

.

₆

Ш. Исследование геометрических свойств на поверхностях различной кривизны

Лобачевский твёрдо был убеждён в логической правильности неевклидовой геометрии. Чтобы можно было это доказать, Лобачевский предпринимал астрономические наблюдения и производил измерения углов космических треугольников, стороны которых измерялись расстояниями от Земли до небесных тел. Лобачевский пытался установить, равна ли сумма углов 180° или она меньше двух прямых углов. Эти измерения не могли дать определённого результата в силу их приближённого характера. Лобачевский всю жизнь искал оправдания своей геометрии в механике и астрономии и не переставал верить, что торжество его идей неминуемо. Занимается проблемой V постулата, почти одновременно с Лобачевским и венгерский учёный Янош Бояй. Он также не получил признания при жизни. Его «Арреndix», содержащий основы неевклидовой геометрии, был изложен сжато и схематично - вот одна из причин, сделавших это произведение недоступным для его современников.

Положение изменилось, когда итальянский математик Эудженио Бельтрами нашёл модель для неевклидовой геометрии. Он её назвал псевдосферой. Псевдосфера образуется вращением линии, называемой трактрисcой, вокруг её оси.

Одним из важнейших результатов открытия геометрии Лобачевского было развитие новых, неевклидовых геометрий, в первую очередь геометрии Римана. В качестве модели планиметрии Римана служит сфера, если считать каждую пару диаметрально противоположных её точек за одну «точку». На сфере нет прямых линий, но имеются большие окружности, т.е. окружности с центром в центре сферы. Большие окружности сферы – это её «прямые». На сфере сумма углов треугольника больше180°; каждые две прямые имеют одну общую точку, т.е. на римановой поверхности нет параллельных прямых. Поверхности, которые допускают движения по себе, всюду должны быть искривлены одинаково. Их называют поверхностями постоянной кривизны. Всего существует три типа таких поверхностей. (см.рис.): 1тип – это поверхность нулевой кривизны. Так называются поверхности, к которым в любом месте можно плотно, без складок и разрывов, приложить плоский кусочек, например, бумаги. Такая поверхность и есть евклидова плоскость. На плоскости выполняется V постулат Евклида: через точку вне данной прямой проходит только одна прямая, параллельная данной. Сумма углов треугольника равна 180°. Геометрию на плоскости называют параболической.

₇

2 тип – это поверхности постоянной отрицательной кривизны. Маленький участок такой поверхности напоминает седло. Чтобы плотно приложить к ней листок бумаги, его обязательно придётся надорвать. Такая поверхность есть модель плоскости Лобачевского, т.е. псевдосфера. На псевдосфере: через точку вне данной прямой можно провести две прямые, параллельные данной. Сумма углов треугольника меньше 180°.

3 тип - это поверхности постоянной положительной кривизны. Пытаясь обернуть такую поверхность листом бумаги, на нём образуются складки. Эта поверхность – сфера, модель Римановой геометрии. На сфере через точку вне данной прямой нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной. Сумма углов треугольника больше 180°.

Рис.2 а) б) в)

а) поверхность постоянной отрицательной кривизны;

б) поверхность постоянной нулевой кривизны; в) положительной кривизны.

₈