Глава VIII. Модели управления запасами Детерминированные модели управления запасами
Задача управления запасами – важная экономическая задача в исследовании операций. Ее решение высвобождает значительные оборотные средства, замороженные в виде запасов. Для постановки задачи управления запасами введем необходимые понятия и предположения.
Спрос на запасаемый продукт будем считать детерминированным или случайным.
Склад пополняется через определенные интервалы времени или после снижения запасов до некоторого уровня. Объем склада практически неограниченный.
В простейших случаях полагают, что на складе хранится запас однородного продукта или однотипных изделий (однономенклатурный запас). В сложных случаях рассматривается многономенклатурный запас.
Заказ подается на одну и ту же величину при достижении запасом заданного уровня.
Заказанное пополнение доставляется на склад мгновенно.
Стоимость каждой поставки формируется из разовых затрат, не зависящих от объема заказа, и затрат, зависящих от него.
За хранение каждой единицы запаса в единицу времени взимается плата (издержки хранения).
Отсутствие запаса в нужный момент влечет за собой убытки: простой оборудования, неритмичность производства и т. п. Эти убытки называют штрафом за дефицит.
Критерием эффективности стратегии управления запасами является функция затрат (издержек), представляющая суммарные затраты на хранение и поставку запасаемого продукта и затраты на штрафы за дефицит.
Сформулируем задачу управления запасами: найти такую стратегию пополнения и расхода.
На рис. 20.1 представлен пример модели уровня запасов на складе предприятия.
Рис. 20.1
Здесь
– уровень запасов, являющийся функцией
времени t;
– начальный уровень запасов в момент
времени
;
и
– моменты поставки новых запасов на
склад;
– интервал, в течение которого запасы
на складе отсутствуют (дефицит запасов);
– общий интервал времени работы по
принятой модели запасами, при которой
функция затрат принимает минимальное
значение.
Используя
уровень запасов на складе, представленный
на рис. 20.1, оценим затраты на хранение
запаса. Пусть v
– затраты на хранение одной единицы
продукции, а
– количество единиц продукции на складе
в произвольный момент времени t.
Тогда стоимость всех затрат на хранение
от начала процесса до произвольного
момента t
найдем по формуле:
(20.1)
При анализе запасов используются различные модели. В зависимости от спроса на запрашиваемый продукт – детерминированный или случайный, модель называют детерминированной или стохастической.
В зависимости от номенклатуры хранимого на складе запаса однородного продукта или однотипных изделий различают однономенклатурные и многономенклатурные модели.
Если все параметры модели не изменяются во времени, то она называется статической, если изменяются – динамической.
Статическая однономенклатурная детерминированная модель без дефицита.
Графически статистическая однономенклатурная детерминированная модель без дефицита представлена на рис. 20.2.
Рис. 20.2
Здесь введены следующие обозначения:
n – объем одной поставляемой партии запасов;
– общий
интервал времени работы по принятой
модели;
k – количество поставляемых партий за общий интервал времени работы по принятой модели;
T – интервал времени между поставками;
– интенсивность
расходования запасов;
N – общее потребление запасаемого продукта за общий интервал времени работы по принятой модели.
Уровень запасов снижается равномерно от n до нуля, после чего заказывается новая партия с таким же объемом запасов n, причем заказ выполняется мгновенно.
Задача управления запасами состоит в определении такого объема партии n, при котором суммарные затраты на создание и хранение запаса были бы минимальными.
Обозначим затраты на поставку одной партии продукта, не зависящие от объема партии, через c, а затраты на хранение одной единицы продукта в единицу времени – через v. Тогда затраты на поставку k партий за общий интервал времени работы составят:
, (20.2)
где
учтено, что интенсивность постоянна и
потому
или
.
По формуле (20.1) найдем затраты на хранение запаса:
. (20.3)
Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, заменим интеграл
площадью прямоугольного треугольника с катетами длиной T и n (см. рис. 20.2). В результате получим
. (20.4)
Общие затраты W представляются суммой затрат на поставку (20.2) и хранение (20.3)
. (20.5)
График зависимости суммарных затрат от объема одной поставки партии запасов представлен на рис. 20.3.
Рис. 20.3
Найдем минимум функции W. Сначала воспользуемся необходимым условием существования экстремума:
.
Из последнего соотношения определим критическую точку
или
. (20.6)
Проверим достаточное условие существования экстремума:
.
В виду
положительности второй производной
найденная критическая точка
доставляет функции W
минимум.
Следовательно, оптимальный объем одной поставляемой партии продукции, при котором суммарные затраты на поставку и хранение минимальны, находят по формуле (20.6), называемой формулой Уилсона.
Найдем другие оптимальные параметры модели:
(20.7)
оптимальный интервал времени между поставками
(20.8)
оптимальные средние затраты на поставку и хранение в единицу времени.
Пример 20.1. Машиностроительное предприятие в течение месяца равномерно и непрерывно потребляет 363 т мелкосортовой стали. Сталь поставляется партиями одинакового объема по цене 740 000 руб. за партию. Стоимость хранения одной тонны стали на складе составляет 370 руб./сутки. Определить оптимальный объем партии, оптимальный объем времени между поставками, оптимальные средние затраты на поставку и хранение в единицу времени.
Решение. Интенсивность расходования запаса:
т/сутки.
Найдем оптимальный объем партии по формуле (20.6):
т.
Оптимальный интервал времени между поставками определим по формуле (20.7):
суток.
Оптимальные средние затраты на постановку и хранение в единицу времени вычислим по формуле (20.8):
руб.
Статическая однономенклатурная детерминированная модель с дефицитом.
В этой модели при отсутствии запаса спрос сохраняется с той же интенсивностью. Графически она представлена на рис. 20.4.
Рис. 20.4
Здесь n – желаемый объем партии;
s – максимальный уровень запаса;
T
– интервал времени поставки,
.
В
интервале времени
производится потребление запаса, а в
интервале
– накопление дефицита, так как запас
отсутствует. Дефицит накапливается до
значения
.
После этого поступает следующая партия
запаса.
Суммарные затраты складываются из затрат на поставку продукта, его хранение и из штрафа за дефицит.
Затраты
на пополнение запаса, связанные с
поставкой k
партий за общий интервал работы
,
определяются по формуле (20.3).
Затраты на хранение запаса за общий интервал времени находят по формуле, аналогичной (20.4):
. (20.9)
Из пособия треугольников на рис. 20.4 имеем
и
.
Из этих соотношений находим соответственно
(20.10)
. (20.11)
Подставив формулу (20.10) в соотношение (20.9), получим
или,
учитывая, что
,
окончательно найдем
. (20.12)
Пусть штраф за дефицит за единицу продукции в единицу времени составляет u. Этот штраф за один период равен площади треугольника, лежащего под осью Ot, умноженной на u. За общий интервал времени штраф за дефицит составит
. (20.13)
Подставив в формулу (20.13)соотношение (20.11), получим:
. (20.14)
Сложив формулы (20.2), (20.13) и (20.14), найдем суммарные затраты:
. (20.15)
Следовательно, суммарные затраты представляют собой функцию двух независимых переменных n и s.
Заметим,
что при
формула (20.15) совпадает с ранее полученной
формулой (20.5) в модели без дефицита.
Рассматриваемая задача управления запасами сводится к отысканию такого объема партии n и максимального уровня запаса s, при которых функция W принимает минимальное значение.
Другими словами, необходимо исследовать функцию двух переменных на экстремум. Необходимое условие экстремума:
(20.16)
где
;
.
После элементарных преобразований (20.16) примет вид:
(20.17)
где приняты обозначения:
– условная
интенсивность расходования запаса при
отсутствии дефицита
;
– плотность
убытков из-за неудовлетворенного спроса.
Подставив второе уравнение системы (20.17) в первое, найдем
;
(20.18)
Для
выяснения существования и характера
экстремума в точке
найдем вторые производные функции W:
;
;
и составим выражение
очевидно,
и
при
и
.
Следовательно, выполняются достаточные
условия существования экстремума
функции W
в точке
,
причем этим экстремумом является
минимум.
Теперь найдем другие оптимальные параметры модели:
(20.19)
оптимальный интервал времени между поставками
; (20.20)
средние затраты на поставку, хранение и дефицит
; (20.21)
оптимальные средние затраты
; (20.22)
реальная интенсивность расходования запасов.
Решая систему уравнений
Найдем связь между желаемым объемом партии n и максимальным уровнем запаса s:
. (20.23)
Пример 20.2. При условиях примера 20.1 допустим дефицит стали, причем нехватка 1 т стали в процессе производства приносит убытки 2980 руб./сутки. Определить оптимальные характеристики запаса.
Решение. Условная интенсивность расходования запаса:
т/сутки.
Плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса составит:
.
Оптимальный объем партии с учетом дефицита найдем по формуле (20.18):
т,
т.
Оптимальный интервал времени между поставками с учетом дефицита вычислим по формуле (20.19):
суток.
Оптимальные средние затраты на постановку и хранение в единицу времени вычислим по формуле (20.21):
руб./сутки.
Интервал времени, в течение которого происходит потребление запаса, согласно (20.10) равен:
суток.
Реальная интенсивность расходования запасов определяется по формуле (20.22)
т/сутки.
Желаемый объем партии
т.
Объем партии с учетом дефицита по формуле (20.23) составит
т.