- •1. Понятие о множествах. Логическая символика. Числовые множества. Множество действительных чисел. Расширенная числовая прямая. Окрестность точки.
- •2. Ограниченность множеств. Грани числовых множеств. Равномощные множества. Счетные и несчетные множества (примеры).
- •5. Бесконечно-малые числовые последовательности. Свойства (с доказательством).
- •6. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Принцип компактности.
- •7. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- •8. Предел функции. Определение предела по Коши и по Гейне. Односторонние пределы. Бесконечно-большие и бесконечно малые функции. Свойства бесконечно-малых функций с доказательствами.
- •9. Основные теоремы о пределах. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно-малой функцией.
- •10. Вычисление пределов функций. Рациональная дробь на бесконечности. Первый и второй замечательный предел (привести основную идею доказательства).
- •11. Эквивалентные бесконечно-малые функции. Сравнение бесконечно-малых функций. Переход к эквивалентностям в пределах. Примеры.
- •13. Комплексные числа. Комплексная плоскость. Способы задания комплексных чисел. Операции над ними. Формула Муавра. Понятие функции комплексного переменного. Формулы Эйлера.
- •16. Понятие дифференцируемости функции. Связь дифференцируемости и непрерывности. Примеры. Дифференциал функции. Геометрический смысл. Инвариантность формы записи. Дифференциалы высших порядков.
- •17. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши. Геометрический смысл. Привести доказательство любой теоремы на выбор.
- •19. Исследование функций с помощью производных. Возрастание и убывание функции. Необходимое, достаточное условие (доказательство). Примеры.
- •20. Понятие экстремума функции. Локальный и глобальный экстремум. Необходимое условие экстремума (доказательство). Примеры.
- •21. Понятие экстремума функции. Первое и второе достаточные условия экстремума (доказательство). Схема исследования функции на экстремум. Примеры.
- •22. Наибольшее и наименьшее значение функции непрерывной на отрезке. Схема определения наибольшего и наименьшего значения функции непрерывной на отрезке. Примеры.
- •23. Выпуклость функции, точки перегиба. Необходимое, достаточное условие существование точек перегиба (доказательство). Схема исследования функции на выпуклость.
- •24. Асимптоты графика функции. Графическая иллюстрация. Примеры.
- •25. Понятие первообразной. Теорема об общем представлении первообразной для функции (с доказательством). Неопределенный интеграл и его свойства. Табличные интегралы.
20. Понятие экстремума функции. Локальный и глобальный экстремум. Необходимое условие экстремума (доказательство). Примеры.
Точка x0 называется точкой локального максимума [минимума] функции f(x), если существует такая окрестность x0, что для всех x из этой окрестности значение f(x0) будет наибольшим [наименьшим].
Значение функции в точке максимума [минимума] называется максимальным [минимальным] значением функции.
Локальный экстремум – рассматривается окрестность точки, глобальный – множество, промежуток.
Если f(x) имеет в точке x0 экстремум, то в данной точке производная равна нулю или не существует.
Доказательство: пусть y=f(x) дифференцируема, x0 – экстремум. f(x0) – максимум. Тогда согласно теореме Ферма производная равна нулю.
21. Понятие экстремума функции. Первое и второе достаточные условия экстремума (доказательство). Схема исследования функции на экстремум. Примеры.
Точка x0 называется точкой локального максимума [минимума] функции f(x), если существует такая окрестность x0, что для всех x из этой окрестности значение f(x0) будет наибольшим [наименьшим].
Значение функции в точке максимума [минимума] называется максимальным [минимальным] значением функции.
Первое достаточное условие:
Если в точке x0 конечная или бесконечная производная положительна [отрицательна], то x0 – точка строгого возрастания [убывания] функции.
Доказательство: f'(x0) = lim Δy/Δx при x → 0
f'(x0) > 0 ==> Δy/Δx > 0
Δx < 0 ==> Δy < 0
Δx > 0 ==> Δy > 0
x0 – точка строгого возрастания.
Второе достаточное условие:
???
22. Наибольшее и наименьшее значение функции непрерывной на отрезке. Схема определения наибольшего и наименьшего значения функции непрерывной на отрезке. Примеры.
Если f(x) непрерывна на [a, b], то согласно теореме Вейерштрасса функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения на отрезке (либо на концах, либо в точках максимума/минимума).
Определение наибольшего и наименьшего значения:
f'(x) = 0, решаем и находим значение функции на концах отрезка и в точках, являющихся решением уравнения.
23. Выпуклость функции, точки перегиба. Необходимое, достаточное условие существование точек перегиба (доказательство). Схема исследования функции на выпуклость.
График функции f(x), дифференцируемой на интервале (a, b) имеет на этом интервале выпуклость, направленную вверх [вниз], если график функции на интервале лежит не выше [не ниже], чем любая его касательная.
Точкой перегиба называется точка с координатами (x0, f(x0)), разделяющая интервалы выпуклости вверх и вниз. В этой точке кривая переходит с одной стороны своей касательной на другую.
Если функция f(x) имеет перегиб в точке x0, то f''(x0) = 0.
24. Асимптоты графика функции. Графическая иллюстрация. Примеры.
x = x0 называется вертикальной асимптотой графика функции, если один из пределов функции (справа, слева или общий) равен ±бесконечности при x → x0.
y = y0 называется горизонтальной асимптотой графика функции, если хотя бы одно из предельных значений функции конечно ( = b) при x → ±inf.
y = kx+b – наклонная асимптота, если lim f(x)-kx+b = 0 при x → 0