§2.2. Риск смешанной стратегии.

Пусть применяется смешанная стратегия {x₁, x₂, …, x_n}, тогда ожидаемый доход (формула (6)).

Найдем риск ≡ , измеряемый как СКО СВ Y. Воспользуемся формулами для дисперсии СВ, известными из теории вероятностей:

(9)

Найдем дисперсию суммы двух СВ:

(10)

Уточним математический смысл слагаемых правой части формулы (10):

- математическое ожидание квадрата отклонения СВ Y₁ от ее математического ожидания (11)

- математическое ожидание квадрата отклонения СВ Y₂ от ее математического ожидания (12)

Обозначим (13)

Величина V₁₂ называется коэффициент ковариации СВ Y₁ и Y₂. Коэффициент ковариации характеризует совместное распределение величин Y₁ и Y₂. Если СВ Y₁ и Y₂ имеют независимые друг от друга распределения вероятностей, то коэффициент ковариации будет равен 0 (V₁₂=0).

Легко убедиться, что справедливы уравнения:

(14)

(15)

Подставляя формулы (11), (12), (13) в правую часть уравнения (10), получим уравнения для дисперсии суммы:

(16)

или через СКО

(17)

В математической статистике для характеристики совместного распределения чаще используется коэффициент парной корреляции, который связан с соответствующим коэффициентом ковариации уравнением:

(18)

- коэффициент парной корреляции между СВ Y_i и Y_j;

- коэффициент ковариации между этими СВ;

- СКО СВ Y_i;

- СКО СВ Y_j.

Для частного случая :

или (*)

Подставим (*) в формулу (17):

(19)

Вместе с формулой (9) мы получаем дисперсию смешанной стратегии (для случая двух стратегий):

Для произвольного числа СВ Y₁, Y₂, …, Y_n будет справедлива аналогичная формула :

(20)

(20) – дисперсия смешанной стратегии.

Свойства коэффициента парной корреляции:

1. K_ij [-1, 1];

2. если СВ Y_i и Y_j независимы (не коррелированны), то K_ij=0;

3. если K_ij>0, то Y_i и Y_j положительно коррелированны, т.е. увеличение одной величины вызывает в среднем увеличение другой величины;

4. если K_ij<0, то величины отрицательно коррелированны, т.е. увеличение одной величины сопровождает в среднем уменьшение другой;

5. если , то Y_i и Y_j связаны более жестко – функциональной зависимостью;

6. .

§2.3. Снижение риска в смешанных стратегиях.

Покажем, что снижение риска в смешанных стратегиях существенно зависит от корреляции между значениями дохода от различных направлений хозяйственной деятельности.

Будем рассматривать случай двух направлений и обобщать на случай произвольного числа направлений деятельности.

Пусть Y₁ – СВ, равная доходу от первого направления деятельности;

Y₂ – СВ, равная доходу от второго направления деятельности.

Будем обозначать:

M[Y₁]=m₁ – мат.ожидание 1-го направления деятельности;

M[Y₂]=m₂ – мат.ожидание 2-го направления деятельности;

σ[Y₁]=σ₁ – риск 1-го направления деятельности;

σ[Y₂]=σ₂ – риск 2-го направления деятельности.

Будем считать, что применяется смешанная стратегия {x₁, x₂} [0,1].

x₁ – доля 1-го направления;

x₂ – доля 2-го направления;

x₁ + x₂ = 1.

Тогда средний ожидаемый доход от смешанной стратегии будет равен:

(21)

где К₁₂ – коэффициент корреляции между СВ Y₁ и Y₂.

Рассмотрим частные случаи:

СЛУЧАЙ 1. Доходы Y₁ и Y₂ – абсолютно не коррелированны. Тогда К₁₂=0. Подставим в формулу (21):

(22)

Т.к. x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, σ₁ ≥ 0, σ₂ ≥ 0, то справедливо равенство:

Т.к. все среднеквадратические отклонения больше или равны 0, то следует неравенство:

(23)

Т.е. риск совместного осуществления двух хозяйственных операций будет меньше (или равен) сумме рисков этих операций.

ПРИМЕР 1. Предприниматель, планируя объемы продаж на лето, выбирает между двумя направлениями:

1. продажа обуви;

2. продажа косметики.

Доходы от этих направлений Y₁ и Y₂ можно считать не коррелированными, т.к. эти товары совершенно разных групп, т.е. К₁₂=0.

Предположим, предприниматель собирается инвестировать в оба направления одновременно сумму 100 тысяч рублей.

Для продажи обуви риск составляет σ₁= 3 руб. на 1 тыс. инвестиций;

Для продажи косметики риск составляет σ₂= 4 руб. на 1 тыс. инвестиций.

Найти предпринимательский риск для трех случаев:

1. предприниматель вкладывает 100 тыс. в продажу обуви;

2. предприниматель вкладывает 100 тыс. в продажу косметики;

3. диверсифицирует закупки, направляя 50 тыс. в продажу обуви и 50 тыс. в продажу косметики.

РЕШЕНИЕ.

1. Пусть предприниматель вложил все средства в продажу обуви, тогда его средний ожидаемый доход будет равен 100000*Y₁;

риск будет равен 100000* σ₁= 100000*3/1000= 300 руб.

2. Пусть предприниматель вложил все средства в продажу косметики, тогда средний ожидаемый доход = 100000* Y₂;

риск = 100000* σ₂= 100000*4/1000= 400 руб.

3. Предприниматель вложил 50 тыс. в продажу обуви и 50 тыс. в продажу косметики. Т.е. смешанная стратегия {x₁, x₂}, где x₁=x₂=1/2. Т.к. величины не коррелированны, то найдем σ² по формуле (22):

Найдем риск: руб.

ВЫВОД: диверсификация позволяет существенно снизить риски для некоррелированных значений доходов.

СЛУЧАЙ 2. СВ Y₁ и Y₂ абсолютно положительно коррелированны, т.е. К₁₂=1. Подставляя в формулу (21), получим:

(24)

Из формулы (24) следует: (25)

σ₁ > σ₂

σ₁ – max риск σ₁ = σ_max

σ₂ – min риск σ₂ = σ_min

ВЫВОД: в случае положительной корреляции между доходами различных направлений деятельности применение смешанных стратегий не позволяет снизить риск ниже значения σ_min (наименьший риск от всех направлений деятельности).

СЛУЧАЙ 3. Случай отрицательной корреляции. СВ Y₁ и Y₂ – абсолютно отрицательно коррелированны, т.е. К₁₂= -1. Подставляем в формулу (21):

(26)

Например, если σ₁=10, σ₂=6, x₁=1/2, x₂=1/2:

2 намного меньше 6, следовательно, произошло существенное снижение риска.

ВЫВОДЫ: диверсификация наиболее эффективна для случая отрицательной корреляции между доходами от различных направлений деятельности.