1.2.4. Непрерывные случайные величины (нсв), их числовые характеристики

Случайную величину назовем непрерывной, если ее функция распределения непрерывна.

Легко видеть, что случайная величина непрерывна тогда и только тогда, когда при всех . Важный класс непрерывных случайных величин - абсолютно непрерывные случайные величины. Это случайные величины, распределение которых имеет плотность.

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

            Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b].

Определение. Математическим ожиданием  непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл

Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.

Определение. Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии

Вероятность попадания НСВ в заданный интервал

Вероятность попадания случайной величины Х в интервал ( ) равна

Примеры распределения НСВ

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина x , принимающая значения на отрезке [a, b], распределена равномерно на [a, b], если ее плотность распределения p_x (x) и функция распределения F_x (x ) имеют соответственно вид:

, .

Экспоненциальное (показательное) распределение

Непрерывная случайная величина x имеет показательное распределение с параметром l > 0, если она принимает только неотрицательные значения, а ее плотность распределения p_x (x )и функция распределения F_x (x) имеют соответственно вид:

, .

Нормальное распределение

Нормальное распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей и математической статистике.

Случайная величина x нормально распределена с параметрами a и s , s >0, если ее плотность распределения p_x (x ) и функция распределения F_x (x) имеют соответственно вид:

, , Mx = a, Dx = s ²_.

1.2.5. Закон больших чисел

Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно большой конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти всюду.

Неравенство Чебышёва

Неравенство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения близкие к своему среднему. Более точно, оно даёт оценку вероятности, что случайная величина примет значение далёкое от своего среднего.

Теорема Чебышёва и её сущность

Теорема Чебышёва. Для независимых случайных величин соотношение

(при любом и ) верно при весьма общих предположениях:

Сущность теоремы Чебышева заключается в том, что хотя каждая из независимых Случ Величин может принять значение, далекое от среднее арифметическое при достаточно большом п с большой вероятностью будет весьма близко к Несмотря на то, что отдельные попарно независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа этих величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу – среднему арифметическому их математических ожиданий. Другими словами, хотя отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, их среднее арифметическое рассеяно мало. Практическое значение этого факта заключается в том, что можно принять в качестве искомого значения некоторой измеряемой величины среднее арифметическое результатов нескольких измерений.

Теорема Бернулли

Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность P_k,n того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: где q = 1-p.

Теорема Ляпунова

Если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.

Пусть , , …, , …- неограниченная последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями , , …, , … и дисперсиями , , …, … . Обозначим , , ,.

Тогда = Ф(b) - Ф(a) для любых действительных чисел a и b , где Ф(x) - функция распределения нормального закона.