Вычисление числовых характеристик важных распределений.
Вычислим математическое ожидание и дисперсию для наиболее важных распределений.
-
Название распределения
Математическое ожидание
Дисперсия
Вырожденное в точке a
a
0
Биномиальное (n,p)
Геометрическое p
Пуассоновское
Нормальное стандартное
0
1
Нормальное
Равномерное на отрезке (0,1)
1/2
1/12
Равномерное на отрезке (A,B)
Бета
Экспоненциальное
Гамма
Если случайные
величины
имеют многомерное нормальное распределение
то
Суммирование независимых случайных величин
Чрезвычайно важным объектом теории вероятностей является сумма независимых случайных величин. Именно исследования распределения сумм независимых случайных величин заложили фундамент для развития аналитических методов теории вероятностей.
Распределение суммы независимых случайных величин
В данном разделе мы получим общую формулу, позволяющую вычислить функцию распределения суммы независимых случайных величин, и рассмотрим несколько примеров.
Распределение суммы двух независимых случайных величин. Формула свертки
Пусть
независимые случайные величины с функциями распределения
соответственно
Тогда функцию распределения F суммы случайных величин
можно вычислить по следующей формуле (формула свертки)
Плотность распределения суммы двух независимых случайных величин
Если распределения обеих случайных величины имеют плотности, то плотность суммы этих случайных величин можно вычислить по формуле
Если распределение
случайной величины
(или
)
имеет плотность, то плотность суммы
этих случайных величин можно вычислить
по формуле
Для доказательства этих утверждений достаточно воспользоваться определением плотности.
Кратные свертки
Вычисление суммы конечного числа независимых случайных величин производится с помощью последовательного применения формулы свертки. Функция распределения суммы k независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения F
называется k –кратной сверткой функции распределения F и обозначается
Примеры вычисления распределения сумм независимых случайных величин
В этом пункте приведены примеры ситуаций, при суммировании случайных величин сохраняется вид распределения. Доказательства представляют собой упражнения на суммирование и вычисление интегралов.
Суммы независимых случайных величин. Нормальное распределение
Пусть
тогда
Суммы независимых случайных величин.Биномиальное распределение
Пусть
тогда
Суммы независимых случайных величин.Пуассоновское распределение
Пусть
тогда
Суммы независимых случайных величин.Гамма распределение
Пусть
тогда
Пуассоновский процесс
Пусть
последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение с параметром
Случайная последовательность точек
на неотрицательной полуоси называется пуассоновский (точечный) процесс.
Вычислим распределение числа точек
пуассоновского процесса в интервале (0,t)
События
эквиваленты, поэтому
Но распределение случайной величины
является распределением Эрланга порядка k, поэтому
Таким образом
распределение количества точек
пуассоновского процесса в интервале
(o,t)
это пуассоновское распределение с
параметром
Пуассоновский процесс используется для моделирования моментов наступления случайных событий – процесса радиоактивного распада, моментов поступления звонков на телефонную станцию, моментов появления клиентов в системе обслуживания, моментов отказа оборудования.
Сходимость последовательностей случайных величин и их распределений
В теории вероятностей в отличие от математического анализа рассматриваются несколько различных видов сходимости последовательности функций (случайных величин) и их распределений. Это связано с тем, что в теории вероятностей принято пренебрегать маловероятными событиями и делать это можно по разному.
Сходимость по вероятности
Последовательность случайных величин
сходится к случайной величине
по вероятности, если
Сходимость по вероятности обозначается так
Сходимость в среднеквадратическом
Последовательность случайных величин
сходится к случайной величине
в среднеквадратическом (в L2) , если
Сходимость в среднеквадратическом обозначается так
Слабая сходимость распределений
Последовательность случайных величин
сходится к случайной величине
слабо (по распределению), если
во всех точках непрерывности функции
Слабая сходимость обозначается так
Основным отличием слабой сходимости от остальных видов сходимости является то, что от случайных величин не требуется, чтобы они были определены на одном вероятностном пространстве, так как условия сходимости формулируются с использованием только их функций распределения.