§ 15. Линейная зависимость и независимость системы векторов.

Пусть L - векторное пространство над полем F. Линейной комбинацией системы векторов a₁, a₂,..., a_n из L наз-ся вектор вида

a=α₁a₁+ α₂a₂+...+ α_na_n, a_i F

Система векторов a₁, a₂,..., a_n наз-ся линейно зависимой, если найдутся скаляры λ₁, λ ₂,..., λ _n, не все равные нулю, такие, что

λ ₁a₁+ λ ₂a₂+...+ λ _na_n= θ.

Система векторов a₁, a₂,..., a_n наз-ся линейно независи­мой, если для любых скаляров λ₁,λ₂,...,λ_n из равенства λ ₁a₁+ λ ₂a₂+...+ λ _na_n= θ следует, что λ₁= λ ₂=...= λ _n=0.

Пр-р. Сист векторов e₁=(l,0,...,0), e₂=(0,1,...,0),..., е_n=(0,0,...,1) лин. независима

Док. Пусть, λ ₁e₁+ λ ₂e₂+...+ λ _ne_n= θ тогда (λ ₁,0,...,0)+ (0, λ ₂,...,0)+...+ (λ ₁,0,..., λ _n)= θ, (λ₁,λ₂,...,λ_n)= (0,0,...,0), откуда λ₁= λ ₂=...= λ _n=0

Свойства.

1°. Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Док. Рассмотрим систему векторов a₁,a₂,..,θ,..,a_m. Тогда 0a₁+0a₂+...+1∙θ+ +...+0a_m=θ. По определению, сис­тема векторов a₁,a₂,..,θ,..,a_m линейно зависима.

2°. Система векторов линейно зависима, если какая-нибудь ее подсистема линейно зависима.

Док.. Пусть дана система векторов a₁,..,a_к,..,a_m. Ее подсистема a₁,..,a_к линейно зависима. Тогда найдутся скаляры λ₁,λ₂,...,λ_к, не все равные нулю, что λ₁a₁+...+ λ_к a_к= θ откуда λ₁a₁+...+λ_кa_к+0a_к+1+…+ 0a_m = θ Это означает, что система векторов линейно a₁,..,a_к,..,a_m зависима.

Следствие. Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.

3^е. Система векторов линейно зависима, когда хотя бы один из векторов этой системы линейно выражается через остальные.

Док.. Пусть система векторов a₁,..,a_к,..,a_m линейно зависима. Тогда существуют скаляры λ₁,λ₂,...,λ_m не все равные ну­лю, что λ₁a₁+λ₂a₂+...+λ_ma_m=θ. Пусть , тогда Обратно, если вектор a_i линейно выражается через остальные векторы, то откуда

4°. Если a₁,a₂,...,a_m линейно независимая система векторов, а система a₁,a₂,...,a_m,v линейно зависима, то вектор v линейно выра­жается через векторы a₁, a₂,..., a_m, притом единственным образом.

Док. Пуcть a₁, a₂,..., a_m,v - линейно зависимая сис­тема векторов, тогда найдутся скаляры λ₁,λ₂,...,λ_m, λ не все равные нулю, такие, что λ₁a₁+λ₂a₂+...+λ_ma_m+ λ v=θ, , так как в против­ном случае λ₁a₁+λ₂a₂+...+λ_ma_m=θ, где не все скаляры равны нулю, откуда, по определению, система векторов a₁,a₂,...,a_m линейно зави­сима, что противоречит условию. Значит, откуда . Если и то

,откуда и, поскольку система ли­нейно a₁,a₂,...,a_m независима, ,поэтому, .

5°. Если каждый вектор системы a₁, a₂,..., a_n+1 линейно выра­жается через векторы системы b₁, b₂,..., b_n, то первая система векто­ров a₁, a₂,..., a_n+1 линейно зависима.

Следствие 1. Если система векторов a₁, a₂,..., a_k линейно вы­ражается через систему b₁, b₂,..., b_m, где к>т, то система векторов a₁, a₂,..., a_k линейно зависима.

Следствие2. Если a₁,a₂,...,a_k линейно выражаются через b₁, b₂,...,b_m и система векторов a₁,a₂,...,a_k линейно независима, то к≤т.

Следствие3. В Rⁿ линейно зависима любая система векторов, состоящая из n+1 вектора.

Док.. Произвольный арифметический n-мерный вектор является линейной комбинацией векторов е₁,е₂,...,е_п из при­мера, приведенного выше. По свойству 5°, система из n+1 вектора линейно зависима.