22. Видовые различия средних величин. Взвешенные средние величины.

Степенные средние могут быть простыми и взвешенными.

Простая средняя величина рассчитывается при наличии двух и более несгруппированных статистических величин, расположенных в произвольном порядке.

Средняя арифметическая простая равна сумме показателей (уровней), деленной на число показателей (уровней).

простая имеет вид !!!!!!!

m – показатель степенисредней,

n – число вариант,

xi – варианта или значение осредняемого признака.

Средняя арифметическая взвешенная принимается в тех случаях, когда известны отдельные значения признака и их веса (fi), т.е. частота повторения признака.

средняя взвешенная имеет вид

m – показатель степени средней,

f – частота показывающая сколько раз встречается i-тое значение осредненного признака,

Xi – варианта.

Средняя арифметическая взвешенная равна сумме произведений признака на вес, деленной на сумму веса.

В расчетах средней арифметической взвешенной применяются следующие методы (приемы):

Если значение X уменьшить в одно и то же число раз, то занчение средней увеличится в это же число раз.

Если значение X увеличить в одно и то же количество раз, то значение средней уменьшится это же количество раз;

Если все значения веса f изменить в несколько раз, то значение средней не изменится.

Если для решения задачи используется 3 метода (приема), то эта задача решена способом моментов.

Вторым видом средних величин является средняя гармоническая, которая применяется в двух формах: простой и взвешенной.

Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда известно отдельные значения признака X и объемы признаков.

Объемом может быть: фонд з/п, валовой сбор, сумма товарооборота, стипендиальный фонд, фактический выпуск продукцииФормула средней гармонической простой:

Средняя гармоническая применяется, когда исходные данные не содержат частот f по отдельным значениям X, а представлены как их произведение Xf. Обозначив Xf=w, выразим f=w/X, и, подставив эти обозначения в формулу средней арифметической взвешенной, получим формулу средней гармонической взвешенной:

Таким образом, средняя гармоническая взвешенная применяется тогда, когда неизвестны частоты f, а известно w=Xf. В тех случаях, когда все w=1, то есть индивидуальные значения X встречаются по 1 разу, применяется формула средней гармонической простой:

Средняя арифметическая взвешенная.

Когда исходные данные сгруппированы, то расчёт средней производится по

формуле средней арифметической взвешенной:

где fi – частота ряда распределения, с которой отдельные варианты встречаются в совокупности (или удельный вес отдельных значений во всей совокупности).

Среднее гармоническое необходимо в том случае, когда наблюдения, для которых мы хотим получить среднее арифметическое, заданы обратными значениями.

Среднегармоническую величину можно определить по следующей формуле:

Среднегармоническую взвешенную величину можно определить по следующей формуле:

Среднее степенное второго порядка называют средним квадратичным, его используют при вычислении среднего квадратичного отклонения. Эти величины точно характеризуют изменение экономических показателей по сравнению с их базисной величиной, взятое в его усредненной величине.

Средняя квадратическая простая вычисляется по формуле:

Средняя квадратическая взвешенная равна: