8.4. Вынужденные электрические колебания

Чтобы колебания в контуре не затухали необходимо периодически пополнять энергию. Для этого в контур включают переменную ЭДС, которая изменяется по гармоническому закону

= _оcos_вt. (8.19)

Электрические колебания в контуре (рис. 8.2) описываются формулой (8.4)

, (20)

или

_о . (8.21)

Решение такого неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму общего решения однородного уравнения (8.10) и частного решения уравнения (8.21).

В случае установившихся электрических колебаний рассматривают только частное решение, так как решение однородного уравнения обращается в нуль (колебания затухают).

Частное решение запишем в виде при (=_в)

q = q_o cos (t -), (8.22)

где q_o - амплитудное значение заряда на конденсаторе;  - разность фаз между колебаниями заряда и, вынуждающей ЭДС.

Причем q_o и  определяются свойствами контура и вынуждающей ЭДС ( > 0, поэтому q всегда отстает по фазе от ЭДС ).).

Задача заключается в нахождении q_o и . Сначала найдем уравнение колебания тока. Дифференцируя (8.22) по времени t, имеем

I = - q_osin(t - ) = q_ocos(t -  + )

или

I = I_o cos(t - ), (8.23)

где I_o = q_o - амплитудное значение тока;  - сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС, т. е.

 =  - .

Представим уравнение (8.20) в виде

U_R + U_C + U_L = _оcost, (8.24)

где

U_R = IR = R I_o cos(t - ), (8.25)

U_C= , (8.26)

U_L = L I_o cos(t -  + ), (8.27)

Из уравнений (8.25), (8.26), (8.27) следует, что U_R находится в фазе с током I;

U_C отстает по фазе от I на ; U_L опережает ток на .

Рис. 8.5

Это можно наглядно представить с помощью векторной диаграммы (рис. 7.5), если амплитуды напряжений представить в виде

U_Rо = R I_o, U_Cо= , U_LО = LI_o,

т. е. их векторная сумма равна вектору величины _О.

Используя рис. 8.5 найдем выражения для I_o и :

_о, (8.28)

. (8.29)