9. Спектральное представление непериодических сигналов и его свойства.Ширина спектра.

Непериодическое колебание можно рассматривать как сумму бесконечно большого числа бесконечно малых по амплитуде гармонических составляющих, частоты которых располагаются бесконечно близко друг к другу и заполняют всю шкалу частот. Можно прийти к интегралу Фурье:

- комплексная спектральная плотность амплитуд.

Интеграл Фурье можно записать в виде:

Особенностью комплексного спектра является его распространение как на положительную, так и на отрицательную области частот.

Чтобы вне отрезка функция равнялась нулю, . При этом , а количество составляющих, входящих в ряд Фурье, будет неизменно большим, так как интервал между составляющими . Спектр становится сплошным.

Совокупность бесконечного числа бесконечно малых по амплитуде гармонических составляющих и образует сплошной спектр исходного непериодического сигнала

В условиях сплошного спектра в (1) заменяем

* на * на *знак на знак .

Таким образом (2)

Внутренний интеграл

(3)

называется комплексной спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции .

В общем случае

(4)

После подстановки в (2)

Физический смысл .

Спектральная плотность – это отношение комплексной амплитуды малого интервала частот вблизи частоты, равной f₀, к длине этого интервала. Причем вклад дают как положительные, так и отрицательные частоты, образующие окрестность f₀.

Спектральная плотность — комплекснозначная функция частоты, одновременно несущая информацию об амплитуде и о фазе элементарных синусоид.

Энергетическая ширина спектра.

Под эшс понимается полоса частот F, в пределах которой сосредоточена большая часть средней мощности (энергии) колебания.

Максимум приходится на несущую. С увелич n, МАХ на осн частоте становится более высоким. Практическую ширину спектра  можно определять как ширину частотного интервала, в пределах которого амплитудный спектр S() не меньше некоторого условного уровня  (например  = 0,1) от S()_max или энергия (мощность) сигнала составляет определённую часть  (например  = 0,9) от полной.

Независимо от способа определения практической ширины спектра Т-финитного сигнала выполняется общая закономерность – произведение практической ширины спектра на длительность сигнала t есть константа C, зависящая только от формы импульса

Это соотношение имеет фундаментальное значение в теории связи. Из него вытекает, что чем короче сигнал, тем шире его спектр и, следовательно, тем более широкополосный канал требуется для его передачи. Увелич скор передачи и усложняется канал.

10.Оптимальная демодуляция и фильтрация непрерывных сигналов

Пусть сообщение b(t) непрерывно изменяется во времени и принимает любую форму, реализации его имеют конечную длительность и спектр практически ограничен частотами от 0 до Fc. При этом условии его реализации могут быть разложены по ортонормированному базису и представлены в виде усеченного ряда:

При линейной модуляции, когда S(t, b)=f(t)b(t), где f(t)-известная ф-ция(несущее колебание), оптимальный демодулятор можно реализовать разомкнутой схемой с синхронным детектором(предназначен для использования в устройствах обработки узкополосных сигналов, для которых характерно медленное по сравнению с периодом высокочастотного заполнения изменение огибающей и фазы.):

Фильтрация

Извлечением полезного сигнала из принятой смеси сигнал+помеха занимается пороговое устройство. Т.к. смесь предварительно проходит обработку в антеннах и входных цепях приёмника, вопрос о фильтрации заключается в выборе оптимальной формы АЧХ и ФЧХ всего приёмника. Если форма сигнала известна точно, то чаще в качестве критерия кач-ва фильтрации исп. отношение пиковой мощности шума. Фильтр, для которого это отношение max называется оптимальным или согласованным.

Определим придаточную характеристику согласованного фильтра когда сигнал принимается на фоне белого шума. N0=const

Предварительно необходимо выбрать время t0. Когда пиковая мощность сигнала на входе фильтра будет максимальным.to=0 to=Tc

Если сигнал имеет бесконечную длительность, то согласованный фильтр станоится физически не реализуемым (to стрем к беск-ти)

- пиковая мощность на R= 1 Ом

u(f)- спектр сигнала на выходе фильтра

Введём функцию самого фильтра

Необходимо максимизировать правую часть этого выражения выбором фу-ии K(f). В математике неравенство Буняковского- Каши- Шварца.

С- некоторая постоянная величина

Максимальное отношение на выходе фильтра

E – энергия сигнала N₀ – спектр. плотн. белого шума

Согласованный фильтр обеспечивает максимальное отношение, которое зависит от энергии сигнала спектральной плотности шума N₀ и не зависит от формы сигнала.

- импульсная характеристика согласованного фильтра

Импульсная характеристика согласованного фильтра совпадает по форме с сигналом зеркально отображ. по времени от to/2

Если E – определить как Е=P_cT_c

- база сигнала.

Следовательно, согласованный фильтр увеличивает С/Ш тем больше чем больше база сигнала.

Для реализации схемы приемника, когда форма сигнала известна с точностью до фазы несущей.

ДО-детектор огибающей

На практике случаи, когда форма сигнала известна, встречаются редко; чаще приходится решать комбинированные задачи когда неизвестно время положительного сигнала и момент появления его на временной оси тогда и в этом случаи согласованный фильтр является частью схемы всего приёмника.

Приёмник в этом случае называется корреляционным.

11 Дискретизация непрерывных сигналов. Теорема Котельникова

Преимущества дискретных, сигналов перед непрерывн.:

1.С точки зрения повышения производительности телекоммуникационной системы (ТКС)

- дискретный сигнал подлежит временному и даже статистическому уплотнению

- цифровой сигнал подлежит многоуровневой модуляции.

2.С точки зрения повышения помехоустойчивости ТКС:

- цифровой сигнал подлежит регенерации (восстановлению формы с точностью до шага дискретизации и квантования);

- цифровой сигнал подлежит кодированию, в том числе избыточному дял повышения помехоустойчивости;

3.С точки зрения защиты информации в ТКС

- только цифровизация сигнала позволяет создать “нерасшифровываемые” системы передачи

4.С точки зрения технологичности ТКС

- цифровая форма сигнала позволяет интегрировать услуги системы

- устройства цифровой обработки более технологичны, чем устройства обработки аналоговых сигналов.

Именно поэтому поиск закономерностей преобразования сигнала типа “дискретизация” представляет актуальную научно-техническую задачу.

Для повышении эффективности передачи информации обычно преднамеренно ограничивают спектр передаваемых сигналов.

Функции с ограниченным спектром обладают свойством которое подметил в 1933г Котельников В.А.

Он сформулировал теорему:

Н епрерывная функция, не содержащая частот выше граничной полностью определяется своими значениями (отсчётами) в точках, отстоящих друг от друга на

- интервал Кот.

.

ряд Котельникова

АЧХ идеального ФНЧ

Процедура передачи сигналов f(t) сводится

к передаче отсчётов

по каналу связи и восстановлению на

приёмнике по этим отсчётам ф-и f(t) путём

фильтра низких частот.

При практическом использовании этой теоремы возникают следующие трудности:

а) Для передачи сигналов отводится ограниченная полоса частот, хотя спектры реальных сигналов бесконечны.

f(t)- исходный сигнал. f*(t)- восстановленный с.

б) Реальный сигнал f(t)существует на конечном интервале наблюдений, поэтому

- частота сигнала

- врем. набл.

Максимальная величина погрешности будет ≈ в середине интервала, а 0 – на концах интервала

На конце отрезка набл. Участвуют большое число N поэтому величина погрешности уменьшается к концу интервала.

в) Идеальный фильтр низких частот практически не существует.

Поэтому восстановление исходного сигнала осуществляется с погрешностью, которая зависит от порядка фильтра.

г) В теореме Котельникова в момент взятия отсчётов используются дельта импульсы.

Поэтому теорема ничего не говорит какую длительность надо использовать для дискретизации.

- Короткие импульсы расширяют спектр (-), но позволяют организовать многоканальную передачу.

- Широкие импульсы сужают спектр (+), но получаются одноканальные системы.

Кроме того, от длительности дискретизации импульсов зависит и погрешность восстановления исходных сигналов в приёме.

д) Апертурная погрешность

Она связана конечным временем одного преобразования и неопределённостью момента времени его окончания, т.е. вместо равномерной дискретизации на практике получаются неравномерная.

В еличину этой погрешности можно оценить исходя из - опер. инт.

Для снижения опер. погрешности приходится увеличивать частоту дискретизации.

Квантование сигналов по уровню.

Э та процедура преобразования непрерывного сигнала в последовательность дискретных значений с помощью нелинейногоустройства (квантователь) ↔

Точные значения заменяются приближёнными.

Ошибка

Ошибку можно оценить вычитая исходный и квантовый сигнал .

А точно восстановить исходный квантов. Нельзя т.к. каждому дискр. значению соответствует - шаг квантования

Чем меньше тем меньше ошибка

- среднеквадратичная ошибка (для равномерного кв-ния)

Если квантование неравномерное: наиболее вероятные значения с меньшим шагом, а наимен. вероят. с большим.

Квантование используется при аналогоцифровом преобразовании (АЦП) сигналов = дискр.+ ква-е. + кодиров.

Поскольку ошибка квантования считается помехой, то выр-т откланения

n – разрядность кода П – пик фактор сигнала.П = 3 - для телефонии

Т.е. увеличение разрядности кода → возрастает соотношение с/ш

Для неравномерного квантования используют компандерные системы. Это система из 2х нелинейных преобразователей.

АЦП – параллельный (быстродействующий)

- последовательный (простой)

- комбинированный