12. Распределения Пирсона, Стьюдента и Фишера
13. Выборочная функция распределения.
Пусть
дана выборка
из n независимых наблюдений
случайной величины ξ. Интервал изменения
значений
i=1,…n (размах
выборки) разделим на k
интервалов группировки и для каждого
j(j=1,…k)
интервала вычислим:
-
частоту (количество)
попавших в него наблюдений;
-
относительную частоту
;
-
накопленную относительную частоту
Поскольку
относительную частоту
можно трактовать как выборочный аналог
вероятности попадания наблюдений в j
интервал, то и совокупности частот {
}
и {
}
будем трактовать как выборочные аналоги
соответственно функции плотности
распределения вероятности и функции
распределения вероятности случайной
величины ξ.
Графическое представление выборочной плотности распределения вероятности { } имеет ступенчатый вид, называется гистограммой и часто используется для глазомерных критериев и сравнений.
14. Распределение выборочного среднего при известной дисперсии (известной выборочной дисперсии)
Рассмотрим выборочное среднее n
независимых наблюдений {
} нормально распределённой случайной
величины ξ ∈
N{
,
} при известной выборочной дисперсии
.
Можно вывести
и потому выборочное распределение статистики определяется соотношением, в котором неизвестная дисперсия представлена известной выборочной дисперсией
и верно вероятностное утверждение
15. Распределение выборочной дисперсии.
Для
оценки выборочной дисперсии
независимых
наблюдений
нормально распределенной случайной
величины
Распределение выборочной дисперсии определяется:
Вероятность:
16. Что такое доверительный интервал, доверительные пределы?
Доверительным называется интервал,
который с заданной надежностью 
покрывает
оцениваемый параметр.
Для оценки математического
ожидания
случайной
величины 
,
распределенной по нормальному закону,
при известном среднем квадратическом
отклонении 
служит
доверительный интервал
где 
-
точность оценки, 
-
объем выборки, 
-
выборочное среднее, 
-
аргумент функции Лапласа, при котором 
17. Концепция проверки статистических гипотез
В процессе статистического анализа иногда бывает необходимо сформулировать и проверить предположения (гипотезы) относительно величины независимых параметров или закона распределения изучаемой генеральной совокупности (совокупностей).Такие предположения называются статистическими гипотезами.
Сопоставление высказанной гипотезы относительно генеральной совокупности с имеющимися выборочными данными, сопровождаемое количественной оценкой степени достоверности получаемого вывода и осуществляемое с помощью того или иного статистического критерия, называется проверкой статистических гипотез.
Выдвинутая
гипотеза называется
нулевой (основной).
Ее принято обозначать
.
По
отношению к высказанной (основной)
гипотезе всегда можно сформулировать
альтернативную(конкурирующую),
противоречащую ей. Альтернативную
(конкурирующую) гипотезу принято
обозначать
.
Цель статистической проверки гипотез состоит в том, чтобы на основании выборочных данных принять решение о справедливости основной гипотезы
Если выдвигаемая гипотеза сводится к утверждению о том, что значение некоторого неизвестного параметра генеральной совокупности в точности равно заданной величине, то эта гипотеза называется простой. В других случаях гипотеза называется сложной.
В качестве нулевой гипотезы принято выдвигать простую гипотезу, так как обычно бывает удобнее проверять более строгое утверждение.
По своему содержанию статистические гипотезы можно подразделить на несколько основных типов
— гипотезы о виде закона распределения исследуемой случайной величины;
— гипотезы о числовых значениях параметров исследуемой генеральной совокупности. Эти гипотезы часто называют параметрическими, тогда как все остальные — непараметрическими.;
— гипотезы об однородности двух или нескольких выборок или некоторых характеристик анализируемых совокупностей;
— гипотезы об общем виде модели, описывающей статистическую зависимость между признаками; и др.
Так, в какой-то небольшой доле случаев α нулевая гипотеза может оказаться отвергнутой, в то время как в действительности в генеральной совокупности она является справедливой. Такую ошибку называют ошибкой 1-го рода, а ее вероятность — 1 уровнем значимости и обозначают α.
Наоборот, в какой-то небольшой доле случаев β нулевая гипотеза принимается, в то время как на самом деле в генеральной совокупности она ошибочна, а справедлива альтернативная гипотеза .
Такую ошибку называют ошибкой 2-го рода. Вероятность ошибки 2-го рода обозначается как β.
Вероятность 1 - β называют мощностью критерия.
Правильное решение относительно нулевой гипотезы Н0 также может быть двух видов:
— будет принята нулевая гипотеза , когда в генеральной совокупности верна нулевая гипотеза ; вероятность такого решения 1 - α;
— нулевая гипотеза будет отклонена в пользу альтернативной , когда в генеральной совокупности нулевая гипотеза отклоняется в пользу альтернативной Н1, вероятность такого решения 1 - β — мощность критерия.
Проверка статистических гипотез осуществляется с помощью статистического критерия (назовем его в общем виде К), являющего функцией от результатов наблюдения.
Статистический критерий — это правило (формула), по которому определяется мера расхождения результатов выборочного наблюдения с высказанной гипотезой .
Статистический критерий, как и всякая функция от результатов наблюдения, является случайной величиной и в предположении справедливости нулевой гипотезы подчинен некоторому хорошо изученному (и затабулированному) теоретическому закону распределения с плотностью распределения f(k).
Выбор критерия для проверки статистических гипотез может быть осуществлен на основании различных принципов. Чаще всего для этого пользуются принципом отношения правдоподобия, который позволяет построить критерий, наиболее мощный среди всех возможных критериев. Суть его сводится к выбору такого критерия К с известной функцией плотности f(k) при условии справедливости гипотезы , чтобы при заданном уровне значимости α можно было бы найти критическую точку К распределения f(k), которая разделила бы область значений критерия на две части: область допустимых значений, в которой результаты выборочного наблюдения выглядят наиболее правдоподобными, и критическую область, в которой результаты выборочного наблюдения выглядят менее правдоподобными в отношении нулевой гипотезы .
Значение
критерия, рассчитываемое
по специальным правилам
на основании выборочных
данных, называется наблюдаемым
значением критерия(
).
Значения
критерия, разделяющие
совокупность значений
критерия на область
допустимых значений (наиболее
правдоподобных в отношении нулевой
гипотезы Н0) и критическую
область (область значений, менее
правдоподобных в отношении нулевой
гипотезы Н0), определяемые
на заданном уровне
значимости α по таблицам
распределения случайной
величины К, выбранной
в качестве критерия,
называются критическими
точками (
).
Областью допустимых значений (областью принятия нулевой гипотезы Н0) называют совокупность значений критерия К, при которых нулевая гипотеза Н0 не отклоняется.
Критической областью называют совокупность значений критерия К, при которых нулевая гипотеза отклоняется в пользу конкурирующей .
Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.
Если
конкурирующая гипотеза — правосторонняя,
например,
:
а > a0, то и критическая область
— правосторонняя (При правосторонней
конкурирующей гипотезе критическая
точка (
)
принимает положительные значения.
Если
конкурирующая гипотеза — левосторонняя,
например, Н1 : а < а0, то
и критическая область — левосторонняя
При левосторонней конкурирующей
гипотезе критическая точка принимает
отрицательные значения (
).
Если
конкурирующая гипотеза — двусторонняя,
например. Н1: а ≠ а0 , то и
критическая область — двусторонняя.
При двусторонней конкурирующей
гипотезе определяются 2 критические
точки (
и
)
Основной принцип проверки статистических гипотез состоит в следующем: — если наблюдаемое значение критерия ( ) принадлежит критической области, то нулевая гипотеза отклоняется в пользу конкурирующей ;
— если наблюдаемое значение критерия ( ) принадлежит области допустимых значений, то нулевую гипотезу нельзя отклонить.
Можно принять решение относительно нулевой гипотезы путем сравнения наблюдаемого ( ) и критического значений критерия ( ).
При правосторонней конкурирующей гипотезе:
— если ≤ . , то нулевую гипотезу нельзя отклонить;
— если > , то нулевая гипотеза отклоняется в пользу конкурирующей .
При левосторонней конкурирующей гипотезе:
— если ≥- , то нулевую гипотезу нельзя отклонить;
— если < - , то нулевая гипотеза отклоняется в пользу конкурирующей .
При двусторонней конкурирующей гипотезе:
— если - ≤ ≤ , то нулевую гипотезу нельзя отклонить;
— если > или < - , то нулевая гипотеза отклоняется в пользу конкурирующей Н1.
Алгоритм проверки статистических гипотез сводится к следующему:
1) сформулировать нулевую и альтернативную гипотезы;
2) выбрать уровень значимости α;
3) в соответствии с видом выдвигаемой нулевой гипотезы выбрать статистический критерий для ее проверки, т.е. — специально подобранную случайную величину К, точное или приближенное распределение которой заранее известно;
4) по таблицам распределения случайной величины К, выбранной в качестве статистического критерия, найти критическое значение (критическую точку или точки);
5) на основании выборочных данных по специальному алгоритму вычислить наблюдаемое значение критерия ;
6) по виду конкурирующей гипотезы определить тип критической области;
7) определить, в какую область (допустимых значений или критическую) попадает наблюдаемое значение критерия , и в зависимости от этого — принять решение относительно нулевой гипотезы
18. Уровень значимости критерия проверки гипотез, области принятия и отклонения гипотез. Ошибки первого и второго рода. Мощность критерия. Нулевая и альтернативная гипотезы. В чем преимущество односторонних критериев перед двусторонними?
Статистическая гипотеза – это некоторое утверждение о виде распре-
деления случайной величины или о параметрах распределения, которое
необходимо проверить, используя соответствующие критерии, на основании
которых мы можем либо опровергнуть гипотезу, либо утверждать, что дан-
ные наблюдений не противоречат гипотезе. Стоит отметить, что никогда
нельзя принимать гипотезу с полной уверенностью, поскольку всегда есть
хотя бы малая вероятность того, что она неверна.
При проверке статистической гипотезы могут возникнуть следующие си-
туации:
1) принимаем гипотезу, когда она на самом деле верна;
2) отвергаем гипотезу, когда она на самом деле не верна;
3) отвергаем гипотезу, когда она на самом деле верна (ошибка I-го
рода);
4) принимаем гипотезу, когда она на самом деле не верна (ошибка II-
го рода).
Понятно, что в третьем и четвертом случаях мы совершаем ошибку, при-
нимая или отвергая гипотезу. Все статистические критерии строятся таким
образом, чтобы вероятность такой ошибки была как можно меньше. Приня-
то ставить задачу таким образом, чтобы именно ошибка I-го рода была наи-
более неприятной, и ее хотелось бы избежать. Для этого задают уровень
значимости α и строят статистический критерий таким образом, чтобы веро-ятность ошибки I-го рода не превосходила уровня значимости α. Естествен-но, добиваться наименьшей вероятности ошибки, поэтому α выбирают до-статочно малым (обычно равным 0,1 или 0,05).Предположим, мы хотим установить, противоречат ли опытные данныегипотезе о том, что исследуемая случайная величина имеет конкретный закон распределения. Критерии для проверки такой гипотезы называются критериями согласия. Выдвинутая гипотеза называется нулевой (основной). Ее принято обозначать Н0.По отношению к высказанной (основной) гипотезе всегда можно сформулировать альтернативную(конкурирующую), противоречащую ей. Альтернативную (конкурирующую) гипотезу принято обозначать Н1.
Правильное решение относительно нулевой гипотезы Н0 также может быть нескольких видом один из них:
нулевая гипотеза Н0 будет отклонена в пользу альтернативной Н1, когда в генеральной совокупности нулевая гипотеза Н0 отклоняется в пользу альтернативной Н1, вероятность такого решения 1 - β — мощность критерия.
Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области. При правосторонней конкурирующей гипотезе:
— если Кнабл≤Ккр. , то нулевую гипотезу Н0нельзя отклонить;
— если Кнабл > Kкр , то нулевая гипотеза Н0 отклоняется в пользу конкурирующей Н1.
При левосторонней конкурирующей гипотезе:
— если Кнабл≥-Ккр, то нулевую гипотезу Н0 нельзя отклонить;
— если Кнабл < -Ккр , то нулевая гипотеза Н0 отклоняется в пользу конкурирующей Н1.
При двусторонней конкурирующей гипотезе:
— если -Ккр ≤ Кнабл≤ Ккр, то нулевую гипотезу Н0 нельзя отклонить;
— если Кнабл > Ккр или Кнабл < -Ккр, то нулевая гипотеза Н0 отклоняется в пользу конкурирующей Н1.