2.2 Поперечно-електричні (те) хвилі в прямокутному хвилеводі

Як відмічалося раніше хвилі типу Н характеризуються тим, що в них магнітне поле має поздовжню складову Н_z, в той час як електричне поле по­перечне, тобто Е_z=0.

Всі складові електромагнітного поля можуть бути виражені через складову Н_z за допомогою формул переходу.

(2.1) де μ_α - магнітна проникніть середовища.

Складова Н_z повинна задовольняти рівняння Гельмгольца, розв'язок якого треба шукати у вигляді

Н_z(х,у,z) =Н_z(x,y) e ^{– jh z}. (2.2)

Тут амплітудна функція Н_z(х,у) є розв'язком двомірного поперечно­го рівняння

V² H_z + g² H_z=0, (2.3)

де - поперечне хвильове число.

Рівняння (2.3) повинно бути доповнене граничними умовами, що за­безпечували б обернення в нуль тангенціальних складових електричного по­ля на стінках хвилеводу з ідеальною провідністю. Ці умови записуються слі­дуючим чином:

(2.4)

Формули переходу дозволяють записати дані умови через шукану фу­нкцію Н_z:

(2.5)

Таким чином, дослідження розповсюдження хвиль типу Н в прямоку­тному металевому хвилеводі зводиться до розв'язку крайової задачі (2.3) -(2.5).

Дана крайова задача розв'язується методом розділення змінних. За­пишемо загальний розв'язок рівняння Гельмгольца у вигляді

H_z = [Asin(g_xx) + Bcos(g_xx)]  [Csin(g_yy) + Dcos(g_yy)]  e ^{–j h z} (2.6)

Граничні умови (2.5) при х = 0, у = 0 можуть бути задоволені тоді, коли А = С = 0. Далі, позначаючи добуток BD як H₀, будемо мати

H_z = H₀ cos(g_xx) cos(g_yy) e ^{–j h z} (2.7)

З умов при х = а, у = b витікає, що

(2.8)

У виразах (2.8) т, п - цілі додатні числа, що не дорівнюють нулю од­ночасно.

Взагалі з фізичної точки зору індекси т і п характеризують кількість напівхвиль які вкладаються вздовж сторони а і в відповідно в прямокутному хвилеводі.

Оскільки для хвиль Н_mn типів.

H_z = H₀ cos( ) cos( ) e ^{–j h z} (2.9)

то в даному випадку один з індексів (але не обидва разом) може дорівнювати нулю. В той же час відомо, що для хвиль Е-типу така ситуація неможлива. Це означає, що нижчий тип коливань в прямокутному хвилеводі належить до класу хвиль Н-типу.

Враховуючи що розмір перетину хвилеводу, взятий по координаті х, бі­льше, ніж по координаті у, тобто а > b, то з двох коливань з найменшими з можливих індексів витікає, що саме H₁₀ та H₀₁ в якого вздовж широкої стінки вкладається одна стояча напівхвиля, а вздовж вузької стінки поле незмінне.

Зв'язок між поздовжнім хвильовим числом, двома геометричними па­раметрами хвилеводу  розмірами розтину а і b та довжиною хвилі збуджую­чого генератора λ, в загальному випадку визначається

h² = γ² - g² (2.10)

Вхідна в (2.10) стала розповсюдження в вільному середовищі γ та по­здовжнє хвильове число пов'язані з довжиною хвилі генератора λ, та довжи­ною хвилі в хвилеводі λ_в.

(2.11)

В свою чергу поперечне хвильове число g залежить лише від геомет­ричних розмірів розтину та від індексів вибраного типу хвилі і зовсім не за­лежить від частоти.

Формула (2.11) дозволяє розкрити найважливішу особливість роботи будь-якого типу хвилеводу, що розглядається. Якщо γ > g, то поздовжнє хвильове число є реальним, а це, як вже відомо, визначає розповсюдження даного коливання у вигляді біжучих хвиль.

Якщо довжина хвилі генератора збільшена настільки, що γ < g, то за­мість біжучої хвилі в хвилеводі існують коливання, що не розповсюджують­ся, амплітуда яких експоненційно зменшується за координатою z . Проте це свідчить уявний характер поздовжнього числа хвилевого числа h.

Граничний випадок виникає, коли γ дорівнює g. При цьому h = 0 та, як наслідок, λ_в = . Прийнято говорити, що в даних умовах тип коливань, що розглядається, знаходиться в критичному режимі. Значення довжини хви­лі генератора, що відповідає випадку γ = g, називається критичною довжи­ною хвилі для даного типу коливань в досліджуваному хвилеводі та познача­ється λ_кр. Щоб уникнути помилок в деяких випадках необхідно уточнювати, до якого типу коливань ця величина відноситься або, в крайньому випадку, позначати індекси коливань, що розглядаються. З наведених міркувань витікає, що

(2.12)

звідки

(2.13)

Зв'язок між трьома хвилеводними числами (2.13) може бути вираже­ний через відповідні довжини хвиль слідуючи чином:

(2.14)

Цей вираз показує, що при зміні величини λ_Р довжина хвилі в хвилево­ді змінюється не пропорційно їй. Закон залежності довжини хвилі в хвилево­ді від довжини хвилі у вільному просторі носить назву дисперсійної характе­ристики хвилеводу. В явному вигляді ця характеристика описується форму­лою, що витікає з (2.14).

(2.15)

Легко помітити, що вивід формули (2.15) оснований тільки на двох зауваженнях: пропорційності комплексних амплітуд біжучих хвиль множни­ку е^{-jh z} та існуванні поняття критичної довжини хвилі. Так як обидва заува­ження вірні для любого типу коливань в порожньому металевому хвилеводі з довільною формою поперечного розтину, то отриманий результат має уні­версальне значення для всіх хвилеводів, що розглядаються. Різниця буде ли­ше в різних методах обчислення величини λ_кр.

Дисперсійну характеристику хвилеводу досить зручно зображати на графіку, що приведений на рис. 2.2.

Вся область довжини хвиль, що менше ніж λ_кр, є областю "прозорості" даного хвилеводу, причому, якщо λ₀ << λ_кр, то довжина хвилі в хвилеводі лише в дуже малій степені відрізняється від довжини хвилі у вільному прос­торі, завжди перебільшуючи її. Якщо λ₀ на графіку рис. 2.2 наближається до λ_кр зліва, то довжина хвилі в хвилеводі прямує до нескінченності. При пере­ході λ₀ через граничне значення λ_кр, в хвилеводі з'являються вже не біжучі, а експоненційно затухаючі хвилі. Всю область частот, якій відповідають λ₀ > λ_кр, називають областю відсіку.

Рис. 2.2 Дисперсійна характеристика хвилеводу.

Те, що довжина хвилі в хвилеводі завжди перебільшує довжину хвилі у вільному просторі, обумовлено тим, що як хвилі типу Е, так і хвилі типу Н в хвилеводах з ідеально провідними стінками розповсюджуються з фазовими швидкостями, що перевищують швидкість світла в вакуумі.

Фазова швидкість хвилі υ_ф в самому загальному випадку визначається рівнянням

(2.16)

Тоді, враховуючи що , отримаємо:

(2.17)

Одержане рівняння показує, що в загальному випадку фазова швид­кість електромагнітних хвиль, які направлені передавальною хвилеводною лінією, весь час перевищує швидкість світла с. Крім того, фазова швидкість хвилі залежить від частоти, що свідчить про наявність дисперсії. Щодо швидкості передачі сигналу або швидкості руху енергії по лінії, то вона за релятивістським законом не може перевищувати швидкості світла.

Групова швидкість υ_гр і швидкість передачі енергії υ_е в лініях передачі, які володіють дисперсією в самому загальному випадку визначаються з виразу:

(2.18)

Із співвідношення (2.18) випливає, що швидкість переносу енергії весь час менше швидкості світла с, а добуток υ_ф на υ_е рівний квадрату швидкості світла, тобто

υ_ф  υ_е = с² (2-19)

Залежності υ_ф і υ_е від частоти показані на рис. 2.3.

Рис 2.3 Графік залежності швидкостей розповсюдження υ_ф і υ_гр від частоти.