4. Ознаки порівняння

Розглядаємо два ряди з додатними членами

(12)

(13)

Теорема 5.8. Нехай з деякого номера n виконується нерівність u_n  v_n. Тоді із збіжності ряду (13) випливає збіжність ряду (12), а із розбіжності ряду (12) випливає розбіжність ряду (13).Теорема 5.9. Нехай для членів рядів (12), (13) існує границя

Тоді обидва ряди (12), (13) збігаються або розбігаються одночасно. Якщо l = 0, то зі збіжності ряду (12) випливає збіжність ряду (13). Якщо l = + , то з розбіжності ряду (13) випливає розбіжність ряду (12).

5. Ознака Доламбера

Теорема 5.10. Якщо для ряду з додатними членами

(16)

починаючи з деякого номера n  N виконується нерівність

(17)

то ряд (16) збігається. Якщо починаючи з деякого номера n  N виконується нерівність

(18)

то ряд розбігається.

Теорема 5.11. (Ознака Даламбера у граничній формі.)

Якщо для ряду (16) з додатними членами існує границя

то при q < 1 ряд збігається, при q > 1 ряд розбігається, при q = 1 ряд може збігатися і розбігатися.

6. Радикальна ознака збіжності Кощі

Теорема 5.12. Якщо для ряду з додатними членами

(20)

починаючи з деякого номера n  N виконується нерівність

то ряд збігається. Якщо починаючи з деякого номера n  N виконується нерівність , то ряд розбігається.

Теорема 5.13. (Радикальна ознака Коші у граничній формі.)

Якщо для ряду (20) з додатними членами існує границя

то при q < 1 ряд збігається, при q > 1 ряд розбігається, а при q = 1 ряди можуть збігатися або розбігатися.

7. Інтегральна ознака збіжності Коші

Інтегральна ознака збіжності заснована на порівнянні ряду з невласним інтегралом.

Нехай для ряду з додатними членами

вдалося знайти неперервну, монотонно спадну при х  1 функцію у = f(x) таку, що u_n = f(n) (n = 1, 2, 3, …) (див. рис. 5.1).

Рис. 5.1

Теорема 5.14. Якщо функція у = f(x) неперервна і монотонно спадає при х  1, то невласний інтеграл

(21)

і ряд

(22)

збігаються або розбігаються одночасно.

8. Знакопочергові ряди. Ознака збіжності Лейбніца

Означення. Ряд виду

(24)

де а_n > 0 (n = 1, 2, 3, …), називається знакопочерговим рядом.

Лейбніц указав достатню умову збіжності ряду (24).

Теорема 5.15. Нехай у знакопочерговому ряді (24) послідовність а_n(n = 1, 2, 3, …) монотонно спадає. Якщо

ряд (24) збігається і його сума не перевищує а₁.

.9Абсолютна й умовна збіжність

Розглянемо довільний числовий ряд

(25)

Означення. Ряд (25) називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд

(26)

Збіжний ряд (25) називається умовно збіжним, якщо ряд (26) розбіжний.

Теорема 5.16. Абсолютно збіжний ряд збігається.

Теорема 5.17. Якщо для знакопочергового ряду

існують границі

,

то при q < 1 ряд абсолютно збіжний, а при q > 1 — розбіжний.

Теорема 5.18. Якщо ряд збігається абсолютно, то за будь-якої перестановки членів ряд буде збігатися і сума його не змінюватиметься.