Математичне формулювання

У електротехніці прийнято записувати закон Ома у інтегральному вигляді

де U — прикладена напруга, I — сила струму, R — електричний опір провідника.

Проте опір є характеристикою провідника, а не матеріалу, й залежить від довжини та поперечного перерізу провідника. Тому в фізиці застосовують закон Ома у диференціальному вигляді:

де j — густина струму, σ — питома провідність матеріалу, E — напруженість електричного поля.

Питома провідність залежить від кількості вільних носіїв заряду в провіднику і від їхньої рухливості.

Еквівалентність двох форм запису

Різниця потенціалів (напруга) на кінцях провідника довжиною   з постійною напруженістю електричного поля   дорівнює

Якщо провідник має площу перерізу S, то сила струму в ньому зв'язана з густиною сили струму формулою:

.

Виходячи із закону Ома в формі

і, підставляючи значення   та  , отримуємо рівняння

,

або

,

де опір   визначається через питому провідність формулою

.

Тут   — питомий опір.

Змінний струм

У випадку змінного струму закон Ома можна розширити, включивши в розгляд також елементи електричного кола, які характеризуються ємністю й індуктивністю. Змінний струм проходить через конденсатор, випереджаючи за фазою напругу. В індуктивності змінний струм відстає за фазою від напруги. Проте в обох випадках амплітуда змінного струму пропорційна амплітуді прикладеної змінної напруги. Математично це можна описати, ввівши комплексні опори (імпеданси).

Тоді можна записати

де U — амплітуда змінної напруги, I — амплітуда змінного струму, Z — імпеданс.

Закон Ома для повного кола

В повному колі окрім опору навантаження є ще джерело живлення, яке має свій власний внутрішній опір. Сила струму в ньому визначається формулою

де   — електрорушійна сила,   — опір навантаження,   -внутрішній опір джерела струму.

29

Закон Джоуля — Ленца  — кількість теплоти, що виділяється струмом в провіднику, пропорційна силі струму, часу його проходження і падінню напруги.

,

де I — сила струму, R — опір, t — час.

Закон Джоуля-Ленца справедливий у межах застосованості закону Ома.

Закон Джоуля-Ленца в диференційній формі

Візьмемо у провіднику елементарний об'єм  . Струм буде протікати і через  , тому там виділятиметься теплота:

де   — опір елементарного об'єму

.

З закону Ома  . З другого боку,

де

•  — напруженість електричного поля

•  — електропровідність

•  — час

•  — елементарний об'єм.

Введемо поняття елементарної питомої потужності струму — кількості теплоти, що виділяється в одиниці об'єму за одиницю часу

тоді

Питома теплова потужність струму дорівнює добутку провідності на квадрат напруженості.

30

Зако́н Кірхго́фа (Kirchhoffsches Gesetz n) — назва кількох законів природи, встановлених Густавом Кірхгофом.

1) У хімії: залежність теплового ефекту реакції від температури описується різницею сум теплоємностей продуктів реакції і реактантів, тобто різницею теплоємностей кінцевого й початкового станів системи.

2) У фізиці: випромінювальна здатність ε будь-якого тіла дорівнює його коефіцієнту поглинання при заданих температурі Т і довжині хвилі λ: ε (λ, Т) = α (λ, Т).

3) У електротехніці — так іноді називають правила Кірхгофа — два основних закони електричних кіл.

Перший встановлює зв'язок між сумою струмів, спрямованих до вузла електричного з'єднання (додатні струми), і сумою струмів, спрямованих від вузла (від'ємні струми). Згідно з цим законом алгебраїчна сума струмів, що збігаються в будь-якій точці розгалуження провідників, дорівнює нулю.

Другий закон Кірхгофа встановлює зв'язок між сумою електрорушійних сил і сумою падінь напруги на резисторах замкненого контуру електричного кола. Згідно з цим законом алгебраїчна сума миттєвих значень електрорушійної сили всіх джерел напруги у будь-якому контурі електричного кола дорівнює алгебричній сумі миттєвих значень падінь напруги на всіх резисторах того самого контуру.